Математический анализ Примеры

$y = 3 x^{2} - 6 x$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = 3 x^{2} - 6 x$

Этап 2

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 6 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x - 6 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$6 x - 6$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x - 6 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$6 x = 6$

Этап 3.2

Разделим каждый член $6 x = 6$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $6 x = 6$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{6}{6}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим $6$ на $6$ .

$x = 1$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = 3 x^{2} - 6 x$ в точке $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 1$

Этап 4.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f (1) = 3 - 6 \cdot 1$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$f (1) = 3 - 6$

Этап 4.2.2

Вычтем $6$ из $3$ .

$f (1) = - 3$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 5

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = 3 x^{2} - 6 x$ : $y = - 3$ .

$y = - 3$

Этап 6