Математический анализ Примеры

$y = 4 x^{2} + 6 x - 9$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = 4 x^{2} + 6 x - 9$

Этап 2

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{2} + 6 x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$8 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 x + 6 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $8 x + 6$ и $0$ .

$8 x + 6$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $8 x + 6 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$8 x = - 6$

Этап 3.2

Разделим каждый член $8 x = - 6$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $8 x = - 6$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 6}{8}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 6}{8}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 6}{8}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$x = \frac{2 (- 3)}{8}$

Этап 3.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$x = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 4}$

Этап 3.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 4}$

Этап 3.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 3}{4}$

Этап 3.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{4}$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = 4 x^{2} + 6 x - 9$ в точке $x = - \frac{3}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 {(- \frac{3}{4})}^{2} + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{4})}^{2}) + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Этап 4.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{4^{2}})) + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Этап 4.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 (1 (\frac{3^{2}}{4^{2}})) + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Этап 4.2.1.3

Умножим $\frac{3^{2}}{4^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 (\frac{3^{2}}{4^{2}}) + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Этап 4.2.1.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 (\frac{9}{4^{2}}) + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Этап 4.2.1.5

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 (\frac{9}{16}) + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Этап 4.2.1.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 (\frac{9}{4 (4)}) + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Этап 4.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3}{4}) = 4 (\frac{9}{4 \cdot 4}) + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Этап 4.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Этап 4.2.1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{4}$ в числитель.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + 6 (\frac{- 3}{4}) - 9$

Этап 4.2.1.7.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + 2 (3) (\frac{- 3}{4}) - 9$

Этап 4.2.1.7.3

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + 2 \cdot (3 (\frac{- 3}{2 \cdot 2})) - 9$

Этап 4.2.1.7.4

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + 2 \cdot (3 (\frac{- 3}{2 \cdot 2})) - 9$

Этап 4.2.1.7.5

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + 3 (\frac{- 3}{2}) - 9$

Этап 4.2.1.8

Объединим $3$ и $\frac{- 3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + \frac{3 \cdot - 3}{2} - 9$

Этап 4.2.1.9

Умножим $3$ на $- 3$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2} - 9$

Этап 4.2.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 9$

Этап 4.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - (\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 9$

Этап 4.2.2.2

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 9$

Этап 4.2.2.3

Запишем $- 9$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 9}{1}$

Этап 4.2.2.4

Умножим $\frac{- 9}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 4.2.2.5

Умножим $\frac{- 9}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}$

Этап 4.2.2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}$

Этап 4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 9 \cdot 4}{4}$

Этап 4.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $- 9$ на $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 9 \cdot 4}{4}$

Этап 4.2.4.2

Умножим $- 9$ на $4$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 36}{4}$

Этап 4.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Вычтем $18$ из $9$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 9 - 36}{4}$

Этап 4.2.5.2

Вычтем $36$ из $- 9$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 45}{4}$

Этап 4.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{45}{4}$

Этап 4.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{45}{4}$ .

$- \frac{45}{4}$

Этап 5

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = 4 x^{2} + 6 x - 9$ : $y = - \frac{45}{4}$ .

$y = - \frac{45}{4}$

Этап 6