Математический анализ Примеры

$y = 3 x^{2} + 4 x - 5$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 4 x - 5$

Этап 2

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 4 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$6 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x + 4 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $6 x + 4$ и $0$ .

$6 x + 4$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x + 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$6 x = - 4$

Этап 3.2

Разделим каждый член $6 x = - 4$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $6 x = - 4$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{6}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$x = \frac{2 (- 2)}{6}$

Этап 3.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Этап 3.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Этап 3.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 2}{3}$

Этап 3.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = 3 x^{2} + 4 x - 5$ в точке $x = - \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 4.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 4.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 4.2.1.3

Умножим $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 4.2.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3^{2}}) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 4.2.1.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{9}) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 4.2.1.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.6.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 (3)}) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 4.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 \cdot 3}) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 4.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 4.2.1.7

Умножим $4 (- \frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.7.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - 4 (\frac{2}{3}) - 5$

Этап 4.2.1.7.2

Объединим $- 4$ и $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 2}{3} - 5$

Этап 4.2.1.7.3

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{3} - 5$

Этап 4.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} - 5$

Этап 4.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{2}{3}) = - 5 + \frac{4 - 8}{3}$

Этап 4.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вычтем $8$ из $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - 5 + \frac{- 4}{3}$

Этап 4.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{2}{3}) = - 5 - \frac{4}{3}$

Этап 4.2.3

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Этап 4.2.4

Объединим $- 5$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 5 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Этап 4.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 5 \cdot 3 - 4}{3}$

Этап 4.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Умножим $- 5$ на $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 15 - 4}{3}$

Этап 4.2.6.2

Вычтем $4$ из $- 15$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 19}{3}$

Этап 4.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{19}{3}$

Этап 4.2.8

Окончательный ответ: $- \frac{19}{3}$ .

$- \frac{19}{3}$

Этап 5

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = 3 x^{2} + 4 x - 5$ : $y = - \frac{19}{3}$ .

$y = - \frac{19}{3}$

Этап 6