Математический анализ Примеры

$y = \sin (x)$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = \sin (x)$

Этап 2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\cos (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 3.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 3.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 3.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 3.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 3.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.7

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = \sin (x)$ в точке $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2})$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Этап 4.2.2

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 5

Решим исходную функцию $f (x) = \sin (x)$ в точке $x = \frac{π}{2} + π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2} + π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π}{2} + π)$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Этап 5.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Этап 5.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

Этап 5.2.3.2

Добавим $π$ и $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 5.2.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$f (\frac{π}{2} + π) = - \sin (\frac{π}{2})$

Этап 5.2.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1 \cdot 1$

Этап 5.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

Этап 5.2.7

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 6

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = \sin (x)$ : $y = 1, y = - 1$ .

$y = 1, y = - 1$

Этап 7