Математический анализ Примеры

$y = \cos (x)$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = \cos (x)$

Этап 2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- \sin (x) = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- \sin (x) = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{- 1}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 3.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 3.4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 3.5

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 3.6

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.8

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = \cos (x)$ в точке $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

$f (π) = \cos (π)$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$f (π) = - \cos (0)$

Этап 4.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (π) = - 1 \cdot 1$

Этап 4.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (π) = - 1$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 5

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = \cos (x)$ : $y = x = π n, y = - 1$ .

$y = x = π n, y = - 1$

Этап 6