Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} e^{- 2 x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = e^{- 2 x}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 x$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x$ .

$x^{4} (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{4} (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$x^{4} (e^{- 2 x} \cdot - 2) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.3.3.2

Перенесем $- 2$ влево от $e^{- 2 x}$ .

$x^{4} (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x^{4} (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (4 x^{3})$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Изменим порядок членов.

$- 2 e^{- 2 x} x^{4} + 4 e^{- 2 x} x^{3}$

Этап 1.1.4.2

Изменим порядок множителей в $- 2 e^{- 2 x} x^{4} + 4 e^{- 2 x} x^{3}$ .

$f' (x) = - 2 x^{4} e^{- 2 x} + 4 x^{3} e^{- 2 x}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2 x^{4} e^{- 2 x} + 4 x^{3} e^{- 2 x}$ .

$- 2 x^{4} e^{- 2 x} + 4 x^{3} e^{- 2 x}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 x^{4} e^{- 2 x} + 4 x^{3} e^{- 2 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 2 x^{4} e^{- 2 x} + 4 x^{3} e^{- 2 x} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $2 x^{3} e^{- 2 x}$ из $- 2 x^{4} e^{- 2 x} + 4 x^{3} e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $2 x^{3} e^{- 2 x}$ из $- 2 x^{4} e^{- 2 x}$ .

$2 x^{3} e^{- 2 x} (- x) + 4 x^{3} e^{- 2 x} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $2 x^{3} e^{- 2 x}$ из $4 x^{3} e^{- 2 x}$ .

$2 x^{3} e^{- 2 x} (- x) + 2 x^{3} e^{- 2 x} (2) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $2 x^{3} e^{- 2 x}$ из $2 x^{3} e^{- 2 x} (- x) + 2 x^{3} e^{- 2 x} (2)$ .

$2 x^{3} e^{- 2 x} (- x + 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{3} = 0$

$e^{- 2 x} = 0$

$- x + 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{3}$ к $0$ .

$x^{3} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 2.4.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $e^{- 2 x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $e^{- 2 x}$ к $0$ .

$e^{- 2 x} = 0$

Этап 2.5.2

Решим $e^{- 2 x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (0)$

Этап 2.5.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.5.2.3

Нет решения для $e^{- 2 x} = 0$

Нет решения

Этап 2.6

Приравняем $- x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $- x + 2$ к $0$ .

$- x + 2 = 0$

Этап 2.6.2

Решим $- x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 2.6.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.6.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x^{3} e^{- 2 x} (- x + 2) = 0$ верно.

$x = 0, 2$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x^{4} e^{- 2 x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{4} e^{- 2 \cdot 0}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 e^{- 2 \cdot 0}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$0 e^{0}$

Этап 4.1.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 \cdot 1$

Этап 4.1.2.4

Умножим $0$ на $1$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

${(2)}^{4} e^{- 2 \cdot 2}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 e^{- 2 \cdot 2}$

Этап 4.2.2.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$16 e^{- 4}$

Этап 4.2.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 \frac{1}{e^{4}}$

Этап 4.2.2.4

Объединим $16$ и $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{16}{e^{4}}$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(0, 0), (2, \frac{16}{e^{4}})$

Этап 5