Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{2} x^{2} + 9 x$

Этап 1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 9 x$

Этап 2

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 9 x$

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\frac{x^{2}}{2} + 9 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2}}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x]$

Этап 3.2.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [9 x]$

Этап 3.2.4

Объединим $\frac{2}{2}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [9 x]$

Этап 3.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [9 x]$

Этап 3.2.5.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [9 x]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x + 9 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x + 9 \cdot 1$

Этап 3.3.3

Умножим $9$ на $1$ .

$x + 9$

Этап 4

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x = - 9$

Этап 5

Решим исходную функцию $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 9 x$ в точке $x = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{{(- 9)}^{2}}{2} + 9 (- 9)$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$f (- 9) = \frac{81}{2} + 9 (- 9)$

Этап 5.2.1.2

Умножим $9$ на $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{81}{2} - 81$

Этап 5.2.2

Чтобы записать $- 81$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- 9) = \frac{81}{2} - 81 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.2.3

Объединим $- 81$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (- 9) = \frac{81}{2} + \frac{- 81 \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 9) = \frac{81 - 81 \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Умножим $- 81$ на $2$ .

$f (- 9) = \frac{81 - 162}{2}$

Этап 5.2.5.2

Вычтем $162$ из $81$ .

$f (- 9) = \frac{- 81}{2}$

Этап 5.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 9) = - \frac{81}{2}$

Этап 5.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{81}{2}$ .

$- \frac{81}{2}$

Этап 6

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 9 x$ : $y = - \frac{81}{2}$ .

$y = - \frac{81}{2}$

Этап 7