Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{2} - 4 x + 3$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $5 x^{2} - 4 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$10 x - 4 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$10 x - 4 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $10 x - 4$ и $0$ .

$10 x - 4$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $10 x - 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$10 x = 4$

Этап 2.2

Разделим каждый член $10 x = 4$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $10 x = 4$ на $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{4}{10}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 x}{10} = \frac{4}{10}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{10}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Сократим общий множитель $4$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{10}$

Этап 2.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

Этап 2.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

Этап 2.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2}{5}$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = 5 x^{2} - 4 x + 3$ в точке $x = \frac{2}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = 5 {(\frac{2}{5})}^{2} - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{2}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{2^{2}}{5^{2}}) - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Этап 3.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5^{2}}) - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Этап 3.2.1.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{25}) - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5 (5)}) - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Этап 3.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5 \cdot 5}) - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Этап 3.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5} - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Этап 3.2.1.5

Умножим $- 4 (\frac{2}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Объединим $- 4$ и $\frac{2}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5} + \frac{- 4 \cdot 2}{5} + 3$

Этап 3.2.1.5.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5} + \frac{- 8}{5} + 3$

Этап 3.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5} - \frac{8}{5} + 3$

Этап 3.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{2}{5}) = 3 + \frac{4 - 8}{5}$

Этап 3.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Вычтем $8$ из $4$ .

$f (\frac{2}{5}) = 3 + \frac{- 4}{5}$

Этап 3.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{2}{5}) = 3 - \frac{4}{5}$

Этап 3.2.3

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = 3 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Этап 3.2.4

Объединим $3$ и $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{3 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}$

Этап 3.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{3 \cdot 5 - 4}{5}$

Этап 3.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Умножим $3$ на $5$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{15 - 4}{5}$

Этап 3.2.6.2

Вычтем $4$ из $15$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{11}{5}$

Этап 3.2.7

Окончательный ответ: $\frac{11}{5}$ .

$\frac{11}{5}$

Этап 4

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = 5 x^{2} - 4 x + 3$ : $y = \frac{11}{5}$ .

$y = \frac{11}{5}$

Этап 5