Математический анализ Примеры

$x \sqrt{9 - x}$

Этап 1

Запишем $x \sqrt{9 - x}$ в виде функции.

$f (x) = x \sqrt{9 - x}$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{9 - x}$ в виде ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 9 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $9 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $9 - x$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.8.3

Перенесем ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x] + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.9

По правилу суммы производная $9 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.10

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.14.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.14.2

Объединим $\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.14.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.14.3.1

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.14.3.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{- x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.14.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 2.1.1.16

Умножим ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.1.1.17

Чтобы записать ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.18

Объединим ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.20

Умножим ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.20.1

Перенесем ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.20.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.20.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.20.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.20.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{- x + {(9 - x)}^{1} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.21

Упростим ${(9 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- x + (9 - x) \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.22

Перенесем $2$ влево от $9 - x$ .

$\frac{- x + 2 \cdot (9 - x)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.23

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.23.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x + 2 \cdot 9 + 2 (- x)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.23.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.23.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.23.2.1.1

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{- x + 18 + 2 (- x)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.23.2.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- x + 18 - 2 x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.23.2.2

Вычтем $2 x$ из $- x$ .

$\frac{- 3 x + 18}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.23.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x + 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.23.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$\frac{3 (- x) + 18}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.23.3.2

Вынесем множитель $3$ из $18$ .

$\frac{3 (- x) + 3 (6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.23.3.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x) + 3 (6)$ .

$\frac{3 (- x + 6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.23.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{3 (- (x) + 6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.23.5

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (- 6))}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.23.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{3 (- (x - 6))}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.23.7

Перепишем $- (x - 6)$ в виде $- 1 (x - 6)$ .

$\frac{3 (- 1 (x - 6))}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.23.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{3 (x - 6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $- \frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3 (x - 6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 6$ и $g (x) = {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.1.2.3

Перемножим экспоненты в ${({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.1.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.1.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(9 - x)}^{1}}$

Этап 2.1.2.4

Упростим.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

Этап 2.1.2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

Этап 2.1.2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

Этап 2.1.2.5.3

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

Этап 2.1.2.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

Этап 2.1.2.5.4.2

Умножим ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

Этап 2.1.2.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $9 - x$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Этап 2.1.2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Этап 2.1.2.6.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $9 - x$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Этап 2.1.2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Этап 2.1.2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Этап 2.1.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Этап 2.1.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Этап 2.1.2.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Этап 2.1.2.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Этап 2.1.2.11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{{(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Этап 2.1.2.11.3

Перенесем ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Этап 2.1.2.12

По правилу суммы производная $9 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]))}{9 - x}$

Этап 2.1.2.13

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}{9 - x}$

Этап 2.1.2.14

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x])}{9 - x}$

Этап 2.1.2.15

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]))}{9 - x}$

Этап 2.1.2.16

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.16.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + 1 (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x]))}{9 - x}$

Этап 2.1.2.16.2

Умножим $x - 6$ на $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x]))}{9 - x}$

Этап 2.1.2.17

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{9 - x}$

Этап 2.1.2.18

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.18.1

Умножим $x - 6$ на $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x}$

Этап 2.1.2.18.2

Умножим $\frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x}$ на $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{({(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 3}{(9 - x) \cdot 2}$

Этап 2.1.2.18.3

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.18.3.1

Перенесем $3$ влево от ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 \cdot ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{(9 - x) \cdot 2}$

Этап 2.1.2.18.3.2

Перенесем $2$ влево от $9 - x$ .

$- \frac{3 ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot (9 - x)}$

Этап 2.1.2.19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{3 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (9 - x)}$

Этап 2.1.2.19.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{3 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.3.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$- \frac{3 ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.3.2

Пусть $u_{2} = {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u_{2}$ вместо ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{3 \frac{2 u_{2} \cdot u_{2} + x - 6}{2 u_{2}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.3.2.2

Умножим $u_{2}$ на $u_{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.3.2.2.1

Перенесем $u_{2}$ .

$- \frac{3 \frac{2 (u_{2} \cdot u_{2}) + x - 6}{2 u_{2}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.3.2.2.2

Умножим $u_{2}$ на $u_{2}$ .

$- \frac{3 \frac{2 {u_{2}}^{2} + x - 6}{2 u_{2}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 \frac{2 {({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.3.4.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.3.4.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 \frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.3.4.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.3.4.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 \frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.3.4.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{3 \frac{2 {(9 - x)}^{1} + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.3.4.1.2

Упростим.

$- \frac{3 \frac{2 (9 - x) + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.3.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{3 \frac{2 \cdot 9 + 2 (- x) + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.3.4.1.4

Умножим $2$ на $9$ .

$- \frac{3 \frac{18 + 2 (- x) + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.3.4.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{3 \frac{18 - 2 x + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.3.4.2

Вычтем $6$ из $18$ .

$- \frac{3 \frac{- 2 x + x + 12}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.3.4.3

Добавим $- 2 x$ и $x$ .

$- \frac{3 \frac{- x + 12}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.4.1

Объединим $3$ и $\frac{- x + 12}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.4.2

Умножим $2$ на $9$ .

$- \frac{\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{18 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.4.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{18 - 2 x}$

Этап 2.1.2.19.4.4

Перепишем $\frac{\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{18 - 2 x}$ в виде произведения.

$- (\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{18 - 2 x})$

Этап 2.1.2.19.4.5

Умножим $\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{18 - 2 x}$ .

$- \frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (18 - 2 x)}$

Этап 2.1.2.19.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.5.1

Вынесем множитель $2$ из $18 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$- \frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (9) - 2 x)}$

Этап 2.1.2.19.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$- \frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (9) + 2 (- x))}$

Этап 2.1.2.19.5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (9) + 2 (- x)$ .

$- \frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (9 - x))}$

$- \frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (9 - x)}$

Этап 2.1.2.19.5.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.5.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (9 - x)}$

Этап 2.1.2.19.5.2.2

Возведем $9 - x$ в степень $1$ .

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 ({(9 - x)}^{1} {(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 2.1.2.19.5.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 {(9 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.2.19.5.2.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.2.19.5.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Этап 2.1.2.19.5.2.6

Добавим $2$ и $1$ .

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.1.2.19.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$- \frac{3 (- (x) + 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.1.2.19.7

Перепишем $12$ в виде $- 1 (- 12)$ .

$- \frac{3 (- (x) - 1 (- 12))}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.1.2.19.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 12)$ .

$- \frac{3 (- (x - 12))}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.1.2.19.9

Перепишем $- (x - 12)$ в виде $- 1 (x - 12)$ .

$- \frac{3 (- 1 (x - 12))}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.1.2.19.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.1.2.19.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.1.2.19.12

Умножим $\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Этап 2.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$3 (x - 12) = 0$

Этап 2.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим каждый член $3 (x - 12) = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Разделим каждый член $3 (x - 12) = 0$ на $3$ .

$\frac{3 (x - 12)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 2.2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (x - 12)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 2.2.3.1.2.1.2

Разделим $x - 12$ на $1$ .

$x - 12 = \frac{0}{3}$

Этап 2.2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x - 12 = 0$

Этап 2.2.3.2

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$x = 12$

Этап 2.2.4

Исключим решения, которые не делают $\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ истинным.

$Нет решения$

Этап 3

Найдем область определения $f (x) = x \sqrt{9 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{9 - x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$9 - x \geq 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 9$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $- x \geq - 9$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $- x \geq - 9$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 9}{- 1}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 9}{- 1}$

Этап 3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 9}{- 1}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Разделим $- 9$ на $- 1$ .

$x \leq 9$

Этап 3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 9]$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq 9}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 9]$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq 9}$

Этап 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, 9]$

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \infty, 9]$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 ((0) - 12)}{4 {(9 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $3 ((0) - 12)$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 - 3))}{4 {(9 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 {(9 - (0))}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 - 3))}{4 ({(9 - (0))}^{\frac{3}{2}})}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 - 3))}{4 {(9 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (0) = \frac{3 (0 - 3)}{{(9 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.3

Вычтем $3$ из $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 3}{{(9 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $0$ из $9$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 3}{9^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 3}{{(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.4.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 3}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 5.2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 3}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 5.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 3}{3^{3}}$

Этап 5.2.4.5

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 3}{27}$

Этап 5.2.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Умножим $3$ на $- 3$ .

$f'' (0) = \frac{- 9}{27}$

Этап 5.2.5.2

Сократим общий множитель $- 9$ и $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$f'' (0) = \frac{9 (- 1)}{27}$

Этап 5.2.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$f'' (0) = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 3}$

Этап 5.2.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 3}$

Этап 5.2.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (0) = \frac{- 1}{3}$

Этап 5.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (0) = - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Этап 5.3

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, 9]$ , поскольку $f'' (0)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, 9]$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 6