Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 9$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $3 x^{3} - 2 x^{2} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$9 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$9 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$9 x^{2} - 4 x + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $9 x^{2} - 4 x$ и $0$ .

$9 x^{2} - 4 x$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $9 x^{2} - 4 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $9 x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $9 x^{2}$ .

$x (9 x) - 4 x = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$x (9 x) + x \cdot - 4 = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (9 x) + x \cdot - 4$ .

$x (9 x - 4) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$9 x - 4 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем $9 x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $9 x - 4$ к $0$ .

$9 x - 4 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $9 x - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$9 x = 4$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $9 x = 4$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $9 x = 4$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{4}{9}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{4}{9}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{9}$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (9 x - 4) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{4}{9}$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 9$ в точке $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 3 {(0)}^{3} - 2 {(0)}^{2} - 9$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 2 {(0)}^{2} - 9$

Этап 3.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{2} - 9$

Этап 3.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 - 9$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 2$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 9$

Этап 3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 - 9$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $9$ из $0$ .

$f (0) = - 9$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $- 9$ .

$- 9$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 9$ в точке $x = \frac{4}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{4}{9}$ .

$f (\frac{4}{9}) = 3 {(\frac{4}{9})}^{3} - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{4}{9}$ .

$f (\frac{4}{9}) = 3 (\frac{4^{3}}{9^{3}}) - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Этап 4.2.1.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f (\frac{4}{9}) = 3 (\frac{64}{9^{3}}) - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Этап 4.2.1.3

Возведем $9$ в степень $3$ .

$f (\frac{4}{9}) = 3 (\frac{64}{729}) - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Этап 4.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $729$ .

$f (\frac{4}{9}) = 3 (\frac{64}{3 (243)}) - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Этап 4.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4}{9}) = 3 (\frac{64}{3 \cdot 243}) - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Этап 4.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Этап 4.2.1.5

Применим правило умножения к $\frac{4}{9}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - 2 \frac{4^{2}}{9^{2}} - 9$

Этап 4.2.1.6

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - 2 \frac{16}{9^{2}} - 9$

Этап 4.2.1.7

Возведем $9$ в степень $2$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - 2 (\frac{16}{81}) - 9$

Этап 4.2.1.8

Умножим $- 2 (\frac{16}{81})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.8.1

Объединим $- 2$ и $\frac{16}{81}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} + \frac{- 2 \cdot 16}{81} - 9$

Этап 4.2.1.8.2

Умножим $- 2$ на $16$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} + \frac{- 32}{81} - 9$

Этап 4.2.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32}{81} - 9$

Этап 4.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $\frac{32}{81}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - (\frac{32}{81} \cdot \frac{3}{3}) - 9$

Этап 4.2.2.2

Умножим $\frac{32}{81}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{81 \cdot 3} - 9$

Этап 4.2.2.3

Запишем $- 9$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{- 9}{1}$

Этап 4.2.2.4

Умножим $\frac{- 9}{1}$ на $\frac{243}{243}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{243}{243}$

Этап 4.2.2.5

Умножим $\frac{- 9}{1}$ на $\frac{243}{243}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{- 9 \cdot 243}{243}$

Этап 4.2.2.6

Изменим порядок множителей в $81 \cdot 3$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{3 \cdot 81} + \frac{- 9 \cdot 243}{243}$

Этап 4.2.2.7

Умножим $3$ на $81$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{243} + \frac{- 9 \cdot 243}{243}$

Этап 4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64 - 32 \cdot 3 - 9 \cdot 243}{243}$

Этап 4.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $- 32$ на $3$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64 - 96 - 9 \cdot 243}{243}$

Этап 4.2.4.2

Умножим $- 9$ на $243$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64 - 96 - 2187}{243}$

Этап 4.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Вычтем $96$ из $64$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{- 32 - 2187}{243}$

Этап 4.2.5.2

Вычтем $2187$ из $- 32$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{- 2219}{243}$

Этап 4.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{4}{9}) = - \frac{2219}{243}$

Этап 4.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{2219}{243}$ .

$- \frac{2219}{243}$

Этап 5

Горизонтальные касательные функции $f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 9$ ― $y = - 9, y = - \frac{2219}{243}$ .

$y = - 9, y = - \frac{2219}{243}$

Этап 6