Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} + \ln (x)$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$2 x + \frac{1}{x}$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x + \frac{1}{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x, 1$

Этап 2.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 2.2

Каждый член в $2 x + \frac{1}{x} = 0$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим каждый член $2 x + \frac{1}{x} = 0$ на $x$ .

$2 x \cdot x + \frac{1}{x} x = 0 x$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x) + \frac{1}{x} x = 0 x$

Этап 2.2.2.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} + \frac{1}{x} x = 0 x$

Этап 2.2.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} + \frac{1}{x} x = 0 x$

Этап 2.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} + 1 = 0 x$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $0$ на $x$ .

$2 x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} = - 1$

Этап 2.3.2

Разделим каждый член $2 x^{2} = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разделим каждый член $2 x^{2} = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Этап 2.3.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $- \frac{1}{2}$ в виде $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Этап 2.3.4.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Этап 2.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Этап 2.3.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 2.3.4.4

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.3.4.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 2.3.4.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 2.3.4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 2.3.4.7.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 2.3.4.7.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 2.3.4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 2.3.4.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.3.4.7.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.4.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.4.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 2.3.4.7.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3.4.8

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3

Касательная не может быть найдена в несобственной точке. Точки $x =$ не существует в реальной системе координат.

Касательную невозможно найти на основе корня

Этап 4

There are no horizontal tangent lines on the function $f (x) = x^{2} + \ln (x)$ .

No horizontal tangent lines

Этап 5