Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$6 x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x^{5} + 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$6 x^{5} + 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $5$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x$ и $0$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x$

Этап 2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx - 1.39902337, 0, 0.13320739$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ в точке $x = - 1.39902337$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.39902337$ .

$f (- 1.39902337) = {(- 1.39902337)}^{6} + 5 {(- 1.39902337)}^{3} - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $- 1.39902337$ в степень $6$ .

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 + 5 {(- 1.39902337)}^{3} - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

Этап 3.2.1.2

Возведем $- 1.39902337$ в степень $3$ .

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 + 5 \cdot - 2.73826144 - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

Этап 3.2.1.3

Умножим $5$ на $- 2.73826144$ .

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 - 13.69130723 - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

Этап 3.2.1.4

Возведем $- 1.39902337$ в степень $2$ .

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 - 13.69130723 - 1 \cdot 1.9572664 + 9$

Этап 3.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1.9572664$ .

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 - 13.69130723 - 1.9572664 + 9$

Этап 3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $13.69130723$ из $7.49807575$ .

$f (- 1.39902337) = - 6.19323148 - 1.9572664 + 9$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $1.9572664$ из $- 6.19323148$ .

$f (- 1.39902337) = - 8.15049788 + 9$

Этап 3.2.2.3

Добавим $- 8.15049788$ и $9$ .

$f (- 1.39902337) = 0.84950211$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $0.84950211$ .

$0.84950211$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ в точке $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{6} + 5 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 9$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 9$

Этап 4.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0 - {(0)}^{2} + 9$

Этап 4.2.1.3

Умножим $5$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - {(0)}^{2} + 9$

Этап 4.2.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 0 + 9$

Этап 4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 9$

Этап 4.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 9$

Этап 4.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 9$

Этап 4.2.2.3

Добавим $0$ и $9$ .

$f (0) = 9$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $9$ .

$9$

Этап 5

Решим исходную функцию $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ в точке $x = 0.13320739$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.13320739$ .

$f (0.13320739) = {(0.13320739)}^{6} + 5 {(0.13320739)}^{3} - {(0.13320739)}^{2} + 9$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $0.13320739$ в степень $6$ .

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 5 {(0.13320739)}^{3} - {(0.13320739)}^{2} + 9$

Этап 5.2.1.2

Возведем $0.13320739$ в степень $3$ .

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 5 \cdot 0.00236365 - {(0.13320739)}^{2} + 9$

Этап 5.2.1.3

Умножим $5$ на $0.00236365$ .

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 0.01181829 - {(0.13320739)}^{2} + 9$

Этап 5.2.1.4

Возведем $0.13320739$ в степень $2$ .

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 0.01181829 - 1 \cdot 0.0177442 + 9$

Этап 5.2.1.5

Умножим $- 1$ на $0.0177442$ .

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 0.01181829 - 0.0177442 + 9$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $0.00000558$ и $0.01181829$ .

$f (0.13320739) = 0.01182388 - 0.0177442 + 9$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $0.0177442$ из $0.01182388$ .

$f (0.13320739) = - 0.00592032 + 9$

Этап 5.2.2.3

Добавим $- 0.00592032$ и $9$ .

$f (0.13320739) = 8.99407967$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $8.99407967$ .

$8.99407967$

Этап 6

Горизонтальные касательные функции $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ ― $y = 0.84950211, y = 9, y = 8.99407967$ .

$y = 0.84950211, y = 9, y = 8.99407967$

Этап 7