Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x - 4 \sin (x)$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $4 x - 4 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 \sin (x)$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 - 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$4 - 4 \cos (x)$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 - 4 \cos (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- 4 \cos (x) = - 4$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- 4 \cos (x) = - 4$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- 4 \cos (x) = - 4$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 4}{- 4}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 4$ .

$\cos (x) = 1$

Этап 2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (1)$

Этап 2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - 0$

Этап 2.6

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Этап 2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.9

Объединим ответы.

$x = 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = 4 x - 4 \sin (x)$ в точке $x = 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

$f (2 π) = 4 (2 π) - 4 \sin (2 π)$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $2$ на $4$ .

$f (2 π) = 8 π - 4 \sin (2 π)$

Этап 3.2.1.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (2 π) = 8 π - 4 \sin (0)$

Этап 3.2.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (2 π) = 8 π - 4 \cdot 0$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 4$ на $0$ .

$f (2 π) = 8 π + 0$

Этап 3.2.2

Добавим $8 π$ и $0$ .

$f (2 π) = 8 π$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $8 π$ .

$8 π$

Этап 4

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = 4 x - 4 \sin (x)$ : $y = x = 2 π n, y = 8 π$ .

$y = x = 2 π n, y = 8 π$

Этап 5