Математический анализ Примеры

$f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $6 x^{2} - 4 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$12 x - 4 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x - 4 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $12 x - 4$ и $0$ .

$12 x - 4$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x - 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$12 x = 4$

Этап 2.2

Разделим каждый член $12 x = 4$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $12 x = 4$ на $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{4}{12}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x}{12} = \frac{4}{12}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{12}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Сократим общий множитель $4$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$x = \frac{4 (1)}{12}$

Этап 2.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{3}$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$ в точке $x = \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 6 {(\frac{1}{3})}^{2} - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 6 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Этап 3.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{3}) = 6 (\frac{1}{3^{2}}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Этап 3.2.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = 6 (\frac{1}{9}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f (\frac{1}{3}) = 3 (2) (\frac{1}{9}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Этап 3.2.1.4.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{1}{3 \cdot 3})) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Этап 3.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{1}{3 \cdot 3})) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Этап 3.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{3}) = 2 (\frac{1}{3}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Этап 3.2.1.5

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Этап 3.2.1.6

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{- 4}{3} + 5$

Этап 3.2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} - \frac{4}{3} + 5$

Этап 3.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{3}) = 5 + \frac{2 - 4}{3}$

Этап 3.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Вычтем $4$ из $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = 5 + \frac{- 2}{3}$

Этап 3.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{3}) = 5 - \frac{2}{3}$

Этап 3.2.3

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 3.2.4

Объединим $5$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 3.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 \cdot 3 - 2}{3}$

Этап 3.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Умножим $5$ на $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{15 - 2}{3}$

Этап 3.2.6.2

Вычтем $2$ из $15$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{13}{3}$

Этап 3.2.7

Окончательный ответ: $\frac{13}{3}$ .

$\frac{13}{3}$

Этап 4

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$ : $y = \frac{13}{3}$ .

$y = \frac{13}{3}$

Этап 5