Математический анализ Примеры

$\csc (x)$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Этап 1.2

Изменим порядок множителей в $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \cot (x) \csc (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

Этап 2.2

Приравняем $\cot (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Приравняем $\cot (x)$ к $0$ .

$\cot (x) = 0$

Этап 2.2.2

Решим $\cot (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (0)$

Этап 2.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Точное значение $arccot (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 2.2.2.3

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{2}$

Этап 2.2.2.4

Упростим $π + \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 2.2.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 2.2.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Этап 2.2.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.4.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Этап 2.2.2.4.3.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.2.2.5

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.2.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.2.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.2.2.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.2.2.6

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.3

Приравняем $\csc (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $\csc (x)$ к $0$ .

$\csc (x) = 0$

Этап 2.3.2

Множество значений косеканса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $- \cot (x) \csc (x) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.5

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = \csc (x)$ в точке $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \csc (\frac{π}{2})$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Этап 3.2.2

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = \csc (x)$ в точке $x = \frac{π}{2} + π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2} + π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + π)$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Этап 4.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Этап 4.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

Этап 4.2.3.2

Добавим $π$ и $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{3 π}{2})$

Этап 4.2.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Сделаем выражение отрицательным, поскольку косеканс отрицателен в четвертом квадранте.

$f (\frac{π}{2} + π) = - \csc (\frac{π}{2})$

Этап 4.2.5

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1 \cdot 1$

Этап 4.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

Этап 4.2.7

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 5

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = \csc (x)$ : $y = 1, y = - 1$ .

$y = 1, y = - 1$

Этап 6