Математический анализ Примеры

\csc (x)

$\csc (x)$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Производная

\csc (x)

$\csc (x)$ по

x

$x$ равна

- \csc (x) \cot (x)

$- \csc (x) \cot (x)$ .

- \csc (x) \cot (x)

$- \csc (x) \cot (x)$

Этап 1.2

Изменим порядок множителей в

- \csc (x) \cot (x)

$- \csc (x) \cot (x)$ .

- \cot (x) \csc (x)

$- \cot (x) \csc (x)$

- \cot (x) \csc (x)

$- \cot (x) \csc (x)$

Этап 2

Приравняем производную к

0

$0$ , затем найдем решение уравнения

- \cot (x) \csc (x) = 0

$- \cot (x) \csc (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

\cot (x) = 0

$\cot (x) = 0$

\csc (x) = 0

$\csc (x) = 0$

Этап 2.2

Приравняем

\cot (x)

$\cot (x)$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Приравняем

\cot (x)

$\cot (x)$ к

0

$0$ .

\cot (x) = 0

$\cot (x) = 0$

Этап 2.2.2

Решим

\cot (x) = 0

$\cot (x) = 0$ относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь

x

$x$ из котангенса.

x = arccot (0)

$x = arccot (0)$

Этап 2.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Точное значение

arccot (0)

$arccot (0)$ :

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

Этап 2.2.2.3

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из

π

$π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

x = π + \frac{π}{2}

$x = π + \frac{π}{2}$

Этап 2.2.2.4

Упростим

π + \frac{π}{2}

$π + \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.4.1

Чтобы записать

π

$π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 2.2.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.4.2.1

Объединим

π

$π$ и

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 2.2.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Этап 2.2.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.4.3.1

Перенесем

2

$2$ влево от

π

$π$ .

x = \frac{2 \cdot π + π}{2}

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Этап 2.2.2.4.3.2

Добавим

2 π

$2 π$ и

π

$π$ .

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.2.2.5

Найдем период

\cot (x)

$\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$ .

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.2.2.5.2

Заменим

b

$b$ на

1

$1$ в формуле периода.

\frac{π}{| 1 |}

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.2.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

1

$1$ равно

1

$1$ .

\frac{π}{1}

$\frac{π}{1}$

Этап 2.2.2.5.4

Разделим

π

$π$ на

1

$1$ .

π

$π$

π

$π$

Этап 2.2.2.6

Период функции

\cot (x)

$\cot (x)$ равен

π

$π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

π

$π$ рад. в обоих направлениях.

x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , для любого целого

n

$n$

x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , для любого целого

n

$n$

x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , для любого целого

n

$n$

Этап 2.3

Приравняем

\csc (x)

$\csc (x)$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем

\csc (x)

$\csc (x)$ к

0

$0$ .

\csc (x) = 0

$\csc (x) = 0$

Этап 2.3.2

Множество значений косеканса:

y \leq - 1

$y \leq - 1$ и

y \geq 1

$y \geq 1$ . Поскольку

0

$0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых

- \cot (x) \csc (x) = 0

$- \cot (x) \csc (x) = 0$ верно.

x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , для любого целого

n

$n$

Этап 2.5

Объединим ответы.

x = \frac{π}{2} + π n

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого

n

$n$

x = \frac{π}{2} + π n

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого

n

$n$

Этап 3

Решим исходную функцию

f (x) = \csc (x)

$f (x) = \csc (x)$ в точке

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

f (\frac{π}{2}) = \csc (\frac{π}{2})

$f (\frac{π}{2}) = \csc (\frac{π}{2})$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Точное значение

\csc (\frac{π}{2})

$\csc (\frac{π}{2})$ :

1

$1$ .

f (\frac{π}{2}) = 1

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Этап 3.2.2

Окончательный ответ:

1

$1$ .

1

$1$

1

$1$

1

$1$

Этап 4

Решим исходную функцию

f (x) = \csc (x)

$f (x) = \csc (x)$ в точке

x = \frac{π}{2} + π

$x = \frac{π}{2} + π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

\frac{π}{2} + π

$\frac{π}{2} + π$ .

f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + π)

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + π)$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы записать

π

$π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Этап 4.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Объединим

π

$π$ и

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Этап 4.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π + π \cdot 2}{2})

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π + π \cdot 2}{2})

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Перенесем

2

$2$ влево от

π

$π$ .

f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π + 2 \cdot π}{2})

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

Этап 4.2.3.2

Добавим

π

$π$ и

2 π

$2 π$ .

f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{3 π}{2})

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{3 π}{2})$

f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{3 π}{2})

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{3 π}{2})$

Этап 4.2.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Сделаем выражение отрицательным, поскольку косеканс отрицателен в четвертом квадранте.

f (\frac{π}{2} + π) = - \csc (\frac{π}{2})

$f (\frac{π}{2} + π) = - \csc (\frac{π}{2})$

Этап 4.2.5

Точное значение

\csc (\frac{π}{2})

$\csc (\frac{π}{2})$ :

1

$1$ .

f (\frac{π}{2} + π) = - 1 \cdot 1

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1 \cdot 1$

Этап 4.2.6

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

f (\frac{π}{2} + π) = - 1

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

Этап 4.2.7

Окончательный ответ:

- 1

$- 1$ .

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

Этап 5

Горизонтальная касательной к графику функции

f (x) = \csc (x)

$f (x) = \csc (x)$ :

y = 1, y = - 1

$y = 1, y = - 1$ .

y = 1, y = - 1

$y = 1, y = - 1$

Этап 6