Математический анализ Примеры

$6 x^{3} - 18 x^{2} - 54 x + 18$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $6 x^{3} - 18 x^{2} - 54 x + 18$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 54 x] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 54 x] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{3}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 54 x] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 54 x] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $6$ .

$18 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 54 x] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18 x^{2}$ по $x$ равна $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$18 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 54 x] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$18 x^{2} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 54 x] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 18$ .

$18 x^{2} - 36 x + \frac{d}{d x} [- 54 x] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 54 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 54$ является константой относительно $x$ , производная $- 54 x$ по $x$ равна $- 54 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 x^{2} - 36 x - 54 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$18 x^{2} - 36 x - 54 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.4.3

Умножим $- 54$ на $1$ .

$18 x^{2} - 36 x - 54 + \frac{d}{d x} [18]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18$ относительно $x$ равна $0$ .

$18 x^{2} - 36 x - 54 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $18 x^{2} - 36 x - 54$ и $0$ .

$18 x^{2} - 36 x - 54$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $18 x^{2} - 36 x - 54 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $18$ из $18 x^{2} - 36 x - 54$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $18$ из $18 x^{2}$ .

$18 (x^{2}) - 36 x - 54 = 0$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $18$ из $- 36 x$ .

$18 (x^{2}) + 18 (- 2 x) - 54 = 0$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $18$ из $- 54$ .

$18 x^{2} + 18 (- 2 x) + 18 \cdot - 3 = 0$

Этап 2.1.1.4

Вынесем множитель $18$ из $18 x^{2} + 18 (- 2 x)$ .

$18 (x^{2} - 2 x) + 18 \cdot - 3 = 0$

Этап 2.1.1.5

Вынесем множитель $18$ из $18 (x^{2} - 2 x) + 18 \cdot - 3$ .

$18 (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Этап 2.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 2.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$18 ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Этап 2.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$18 (x - 3) (x + 1) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $18 (x - 3) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 3, - 1$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = 6 x^{3} - 18 x^{2} - 54 x + 18$ в точке $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = 6 {(3)}^{3} - 18 {(3)}^{2} - 54 \cdot 3 + 18$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (3) = 6 \cdot 27 - 18 {(3)}^{2} - 54 \cdot 3 + 18$

Этап 3.2.1.2

Умножим $6$ на $27$ .

$f (3) = 162 - 18 {(3)}^{2} - 54 \cdot 3 + 18$

Этап 3.2.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = 162 - 18 \cdot 9 - 54 \cdot 3 + 18$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 18$ на $9$ .

$f (3) = 162 - 162 - 54 \cdot 3 + 18$

Этап 3.2.1.5

Умножим $- 54$ на $3$ .

$f (3) = 162 - 162 - 162 + 18$

Этап 3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $162$ из $162$ .

$f (3) = 0 - 162 + 18$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $162$ из $0$ .

$f (3) = - 162 + 18$

Этап 3.2.2.3

Добавим $- 162$ и $18$ .

$f (3) = - 144$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $- 144$ .

$- 144$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = 6 x^{3} - 18 x^{2} - 54 x + 18$ в точке $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 6 {(- 1)}^{3} - 18 {(- 1)}^{2} - 54 \cdot - 1 + 18$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1) = 6 \cdot - 1 - 18 {(- 1)}^{2} - 54 \cdot - 1 + 18$

Этап 4.2.1.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 6 - 18 {(- 1)}^{2} - 54 \cdot - 1 + 18$

Этап 4.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = - 6 - 18 \cdot 1 - 54 \cdot - 1 + 18$

Этап 4.2.1.4

Умножим $- 18$ на $1$ .

$f (- 1) = - 6 - 18 - 54 \cdot - 1 + 18$

Этап 4.2.1.5

Умножим $- 54$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 6 - 18 + 54 + 18$

Этап 4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вычтем $18$ из $- 6$ .

$f (- 1) = - 24 + 54 + 18$

Этап 4.2.2.2

Добавим $- 24$ и $54$ .

$f (- 1) = 30 + 18$

Этап 4.2.2.3

Добавим $30$ и $18$ .

$f (- 1) = 48$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $48$ .

$48$

Этап 5

Горизонтальные касательные функции $f (x) = 6 x^{3} - 18 x^{2} - 54 x + 18$ ― $y = - 144, y = 48$ .

$y = - 144, y = 48$

Этап 6