Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 1.1.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Этап 1.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

Этап 1.1.3.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

Этап 1.1.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{3}}]$

Этап 1.1.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{3}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1}$

Этап 1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}}$

Этап 1.6.2

Вычтем $3$ из $- 2$ .

$- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}}$

Этап 1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}}$

Этап 1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 1.8.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1

Умножим $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ на $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{5}{3}} \cdot 3}$

Этап 1.8.2.2

Перенесем $3$ влево от $x^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем числитель к нулю.

$2 = 0$

Этап 2.2

Поскольку $2 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

Отсутствие решений в случае, когда производная равна $0$ , $- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ означает, что горизонтальные касательные отсутствуют.

Горизонтальные касательные не найдены

Этап 4