Математический анализ Примеры

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 100 x y$

Этап 1

Set each solution of $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ as a function of $x$ .

$y = 100 x y \to f (x) = 100 x y$

Этап 2

Because the $y$ variable in the equation $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 100 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (100 x y)$

Этап 2.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2} + y^{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2} + y^{2}$ .

$3 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 2.2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $2$ на $3$ .

$6 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 2.2.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 2.2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 2.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Этап 2.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Этап 2.2.6.2

Изменим порядок множителей в $(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$

Этап 2.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $100$ является константой относительно $x$ , производная $100 x y$ по $x$ равна $100 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$100 \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$100 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$100 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$100 (x y' + y \cdot 1)$

Этап 2.3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$100 (x y' + y)$

Этап 2.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$100 x y' + 100 y$

Этап 2.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Этап 2.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Этап 2.5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Этап 2.5.1.3

Развернем $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (6 x^{2} + 6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Этап 2.5.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Этап 2.5.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Этап 2.5.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 6 x \cdot x^{2} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Этап 2.5.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.4.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 \cdot 6 (x^{2} x) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Этап 2.5.1.4.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \cdot 6 (x^{2} x^{1}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Этап 2.5.1.4.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \cdot 6 x^{2 + 1} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Этап 2.5.1.4.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 \cdot 6 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Этап 2.5.1.4.3

Умножим $2$ на $6$ .

$12 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Этап 2.5.1.4.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 x^{3} + 2 \cdot 6 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Этап 2.5.1.4.5

Умножим $2$ на $6$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Этап 2.5.1.4.6

Умножим $6$ на $2$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Этап 2.5.1.4.7

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.4.7.1

Перенесем $y^{2}$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 6 = 100 x y' + 100 y$

Этап 2.5.1.4.7.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.4.7.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 6 = 100 x y' + 100 y$

Этап 2.5.1.4.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 6 = 100 x y' + 100 y$

Этап 2.5.1.4.7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 6 = 100 x y' + 100 y$

Этап 2.5.1.4.8

Умножим $6$ на $2$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' = 100 x y' + 100 y$

Этап 2.5.2

Вычтем $100 x y'$ из обеих частей уравнения.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 100 x y' = 100 y$

Этап 2.5.3

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Вычтем $12 x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 100 x y' = 100 y - 12 x^{3}$

Этап 2.5.3.2

Вычтем $12 x y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 100 x y' = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Этап 2.5.4

Вынесем множитель $4 y'$ из $12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 100 x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Вынесем множитель $4 y'$ из $12 y y' x^{2}$ .

$4 y' (3 y x^{2}) + 12 y^{3} y' - 100 x y' = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Этап 2.5.4.2

Вынесем множитель $4 y'$ из $12 y^{3} y'$ .

$4 y' (3 y x^{2}) + 4 y' (3 y^{3}) - 100 x y' = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Этап 2.5.4.3

Вынесем множитель $4 y'$ из $- 100 x y'$ .

$4 y' (3 y x^{2}) + 4 y' (3 y^{3}) + 4 y' (- 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Этап 2.5.4.4

Вынесем множитель $4 y'$ из $4 y' (3 y x^{2}) + 4 y' (3 y^{3})$ .

$4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3}) + 4 y' (- 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Этап 2.5.4.5

Вынесем множитель $4 y'$ из $4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3}) + 4 y' (- 25 x)$ .

$4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Этап 2.5.5

Разделим каждый член $4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ на $4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Разделим каждый член $4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ на $4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)$ .

$\frac{4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} = \frac{100 y}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Этап 2.5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 2.5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} = \frac{100 y}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Этап 2.5.5.2.2

Сократим общий множитель $3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 2.5.5.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{100 y}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Этап 2.5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.3.1.1

Сократим общий множитель $100$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.3.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $100 y$ .

$y' = \frac{4 (25 y)}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Этап 2.5.5.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{4 (25 y)}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Этап 2.5.5.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Этап 2.5.5.3.1.2

Сократим общий множитель $- 12$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12 x^{3}$ .

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Этап 2.5.5.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Этап 2.5.5.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Этап 2.5.5.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{(3) x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Этап 2.5.5.3.1.4

Сократим общий множитель $- 12$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Этап 2.5.5.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.3.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Этап 2.5.5.3.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

Этап 2.5.5.3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

Этап 2.5.5.3.2

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{25 y - 3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

Этап 2.5.5.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{25 y - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

Этап 2.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{25 y - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

Этап 3

The roots of the derivative $\frac{25 y - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$ cannot be found.

No horizontal tangent lines

Этап 4