Математический анализ Примеры

$2 \cos (2 x)$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (2 x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 4 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 \sin (2 x) \cdot 1$

Этап 1.3.5

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 4 \sin (2 x)$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 4 \sin (2 x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $- 4 \sin (2 x) = 0$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разделим каждый член $- 4 \sin (2 x) = 0$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Этап 2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 \sin (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Этап 2.1.2.1.2

Разделим $\sin (2 x)$ на $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{0}{- 4}$

Этап 2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разделим $0$ на $- 4$ .

$\sin (2 x) = 0$

Этап 2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (0)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$2 x = 0$

Этап 2.4

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 x = π - 0$

Этап 2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 x = π + 0$

Этап 2.6.1.2

Добавим $π$ и $0$ .

$2 x = π$

Этап 2.6.2

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 2.6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 2.6.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 2.7

Найдем период $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.7.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 2.7.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.8

Период функции $\sin (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.9

Объединим ответы.

$x = \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = 2 \cos (2 x)$ в точке $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (π)$

Этап 3.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$f (\frac{π}{2}) = 2 (- \cos (0))$

Этап 3.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 3.2.4

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot - 1$

Этап 3.2.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 2$

Этап 3.2.5

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 4

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = 2 \cos (2 x)$ : $y = x = \frac{π n}{2}, y = - 2$ .

$y = x = \frac{π n}{2}, y = - 2$

Этап 5