Математический анализ Примеры

$x^{4} - 18 x^{2} + 81$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 18 x^{2} + 81$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18 x^{2}$ по $x$ равна $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [81]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $- 18$ .

$4 x^{3} - 36 x + \frac{d}{d x} [81]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $81$ является константой относительно $x$ , производная $81$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} - 36 x + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $4 x^{3} - 36 x$ и $0$ .

$4 x^{3} - 36 x$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 36 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3} - 36 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 36 x = 0$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $4 x$ из $- 36 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 9) = 0$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{2}) + 4 x (- 9)$ .

$4 x (x^{2} - 9) = 0$

Этап 2.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Этап 2.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$4 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Этап 2.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x (x + 3) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, - 3, 3$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = x^{4} - 18 x^{2} + 81$ в точке $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{4} - 18 {(0)}^{2} + 81$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 18 {(0)}^{2} + 81$

Этап 3.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 18 \cdot 0 + 81$

Этап 3.2.1.3

Умножим $- 18$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 81$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 81$

Этап 3.2.2.2

Добавим $0$ и $81$ .

$f (0) = 81$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $81$ .

$81$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = x^{4} - 18 x^{2} + 81$ в точке $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = {(- 3)}^{4} - 18 {(- 3)}^{2} + 81$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$f (- 3) = 81 - 18 {(- 3)}^{2} + 81$

Этап 4.2.1.2

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f (- 3) = 81 - 18 \cdot 9 + 81$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- 18$ на $9$ .

$f (- 3) = 81 - 162 + 81$

Этап 4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вычтем $162$ из $81$ .

$f (- 3) = - 81 + 81$

Этап 4.2.2.2

Добавим $- 81$ и $81$ .

$f (- 3) = 0$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 5

Горизонтальные касательные функции $f (x) = x^{4} - 18 x^{2} + 81$ ― $y = 81, y = 0, y = 0$ .

$y = 81, y = 0, y = 0$

Этап 6