Математический анализ Примеры

y^{2} - x y - 12 = 0

$y^{2} - x y - 12 = 0$

Этап 1

Solve the equation as

y

$y$ in terms of

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2

Подставим значения

a = 1

$a = 1$ ,

b = - x

$b = - x$ и

c = - 12

$c = - 12$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно

y

$y$ .

\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Применим правило умножения к

- x

$- x$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.2

Возведем

- 1

$- 1$ в степень

2

$2$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.3

Умножим

x^{2}

$x^{2}$ на

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.4

Умножим

- 4 \cdot 1 \cdot - 12

$- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.4.1

Умножим

- 4

$- 4$ на

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.4.2

Умножим

- 4

$- 4$ на

- 12

$- 12$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2

Умножим

2

$2$ на

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Этап 1.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части

+

$+$ значения

\pm

$\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Применим правило умножения к

- x

$- x$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.2

Возведем

- 1

$- 1$ в степень

2

$2$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.3

Умножим

x^{2}

$x^{2}$ на

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.4

Умножим

- 4 \cdot 1 \cdot - 12

$- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.4.1

Умножим

- 4

$- 4$ на

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.4.2

Умножим

- 4

$- 4$ на

- 12

$- 12$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.2

Умножим

2

$2$ на

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Этап 1.4.3

Заменим

\pm

$\pm$ на

+

$+$ .

y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Этап 1.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части

-

$-$ значения

\pm

$\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Применим правило умножения к

- x

$- x$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.2

Возведем

- 1

$- 1$ в степень

2

$2$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.3

Умножим

x^{2}

$x^{2}$ на

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.4

Умножим

- 4 \cdot 1 \cdot - 12

$- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.1

Умножим

- 4

$- 4$ на

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.4.2

Умножим

- 4

$- 4$ на

- 12

$- 12$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2

Умножим

2

$2$ на

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Этап 1.5.3

Заменим

\pm

$\pm$ на

-

$-$ .

y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Этап 1.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Этап 2

Set each solution of

y

$y$ as a function of

x

$x$ .

y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Этап 3

Because the

y

$y$ variable in the equation

y^{2} - x y - 12 = 0

$y^{2} - x y - 12 = 0$ has a degree greater than

1

$1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем обе части уравнения.

\frac{d}{d x} (y^{2} - x y - 12) = \frac{d}{d x} (0)

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x y - 12) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 3.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная

y^{2} - x y - 12

$y^{2} - x y - 12$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Этап 3.2.2

Найдем значение

\frac{d}{d x} [y^{2}]

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ и

g (x) = y

$g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

u

$u$ как

y

$y$ .

\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Этап 3.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d u} [u^{n}]

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид

n u^{n - 1}

$n u^{n - 1}$ , где

n = 2

$n = 2$ .

2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Этап 3.2.2.1.3

Заменим все вхождения

u

$u$ на

y

$y$ .

2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Этап 3.2.2.2

Перепишем

\frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d x} [y]$ в виде

y'

$y'$ .

2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Этап 3.2.3

Найдем значение

\frac{d}{d x} [- x y]

$\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Поскольку

- 1

$- 1$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- x y

$- x y$ по

x

$x$ равна

- \frac{d}{d x} [x y]

$- \frac{d}{d x} [x y]$ .

2 y y' - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 12]

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где

f (x) = x

$f (x) = x$ и

g (x) = y

$g (x) = y$ .

2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]

$2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Этап 3.2.3.3

Перепишем

\frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d x} [y]$ в виде

y'

$y'$ .

2 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]

$2 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Этап 3.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

2 y y' - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12]

$2 y y' - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Этап 3.2.3.5

Умножим

y

$y$ на

1

$1$ .

2 y y' - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 12]

$2 y y' - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 12]$

2 y y' - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 12]

$2 y y' - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Этап 3.2.4

Поскольку

- 12

$- 12$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- 12

$- 12$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

2 y y' - (x y' + y) + 0

$2 y y' - (x y' + y) + 0$

Этап 3.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

2 y y' - (x y') - y + 0

$2 y y' - (x y') - y + 0$

Этап 3.2.5.2

Добавим

2 y y' - x y' - y

$2 y y' - x y' - y$ и

0

$0$ .

2 y y' - x y' - y

$2 y y' - x y' - y$

2 y y' - x y' - y

$2 y y' - x y' - y$

2 y y' - x y' - y

$2 y y' - x y' - y$

Этап 3.3

Поскольку

0

$0$ является константой относительно

x

$x$ , производная

0

$0$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

0

$0$

Этап 3.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

2 y y' - x y' - y = 0

$2 y y' - x y' - y = 0$

Этап 3.5

Решим относительно

y'

$y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим

y

$y$ к обеим частям уравнения.

2 y y' - x y' = y

$2 y y' - x y' = y$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель

y'

$y'$ из

2 y y' - x y'

$2 y y' - x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель

y'

$y'$ из

2 y y'

$2 y y'$ .

y' (2 y) - x y' = y

$y' (2 y) - x y' = y$

Этап 3.5.2.2

Вынесем множитель

y'

$y'$ из

- x y'

$- x y'$ .

y' (2 y) + y' (- x) = y

$y' (2 y) + y' (- x) = y$

Этап 3.5.2.3

Вынесем множитель

y'

$y'$ из

y' (2 y) + y' (- x)

$y' (2 y) + y' (- x)$ .

y' (2 y - x) = y

$y' (2 y - x) = y$

y' (2 y - x) = y

$y' (2 y - x) = y$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член

y' (2 y - x) = y

$y' (2 y - x) = y$ на

2 y - x

$2 y - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член

y' (2 y - x) = y

$y' (2 y - x) = y$ на

2 y - x

$2 y - x$ .

\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель

2 y - x

$2 y - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Этап 3.5.3.2.1.2

Разделим

$y'$ на

$1$ .

$y' = \frac{y}{2 y - x}$

Этап 3.6

Заменим

$y'$ на

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 y - x}$

Этап 4

The roots of the derivative

$\frac{y}{2 y - x}$ cannot be found.

No horizontal tangent lines

Этап 5