Математический анализ Примеры

$y^{2} - x y - 12 = 0$

Этап 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - x$ и $c = - 12$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.4

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.4.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.1.4.2

Умножим $- 4$ на $- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Этап 1.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.4

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.4.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.4.2

Умножим $- 4$ на $- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Этап 1.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Этап 1.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.4

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.4.2

Умножим $- 4$ на $- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Этап 1.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Этап 1.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Этап 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Этап 3

Because the $y$ variable in the equation $y^{2} - x y - 12 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x y - 12) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 3.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $y^{2} - x y - 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Этап 3.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Этап 3.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Этап 3.2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Этап 3.2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Этап 3.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Этап 3.2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Этап 3.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 y y' - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Этап 3.2.3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$2 y y' - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Этап 3.2.4

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 y y' - (x y' + y) + 0$

Этап 3.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y y' - (x y') - y + 0$

Этап 3.2.5.2

Добавим $2 y y' - x y' - y$ и $0$ .

$2 y y' - x y' - y$

Этап 3.3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 3.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y y' - x y' - y = 0$

Этап 3.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$2 y y' - x y' = y$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $y'$ из $2 y y' - x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $2 y y'$ .

$y' (2 y) - x y' = y$

Этап 3.5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $- x y'$ .

$y' (2 y) + y' (- x) = y$

Этап 3.5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (2 y) + y' (- x)$ .

$y' (2 y - x) = y$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $y' (2 y - x) = y$ на $2 y - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $y' (2 y - x) = y$ на $2 y - x$ .

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $2 y - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Этап 3.5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{y}{2 y - x}$

Этап 3.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 y - x}$

Этап 4

The roots of the derivative $\frac{y}{2 y - x}$ cannot be found.

No horizontal tangent lines

Этап 5