Математический анализ Примеры

$18 \cos (x) + 9 \sin (2 x)$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $18 \cos (x) + 9 \sin (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [18 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [18 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [18 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18 \cos (x)$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$18 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$

Этап 1.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$18 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$

Этап 1.2.3

Умножим $- 1$ на $18$ .

$- 18 \sin (x) + \frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 \sin (2 x)$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 18 \sin (x) + 9 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.3.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Этап 1.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Этап 1.3.6

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (2 \cdot \cos (2 x))$

Этап 1.3.7

Умножим $2$ на $9$ .

$- 18 \sin (x) + 18 \cos (2 x)$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 18 \sin (x) + 18 \cos (2 x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 18 \sin (x) + 18 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 18 \sin (x) + 18 \cdot 1 + 18 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.1.3

Умножим $18$ на $1$ .

$- 18 \sin (x) + 18 + 18 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.1.4

Умножим $- 2$ на $18$ .

$- 18 \sin (x) + 18 - 36 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.2

Разложим $- 18 \sin (x) + 18 - 36 \sin^{2} (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $18$ из $- 18 \sin (x) + 18 - 36 \sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $18$ из $- 18 \sin (x)$ .

$18 (- \sin (x)) + 18 - 36 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $18$ из $18$ .

$18 (- \sin (x)) + 18 (1) - 36 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $18$ из $- 36 \sin^{2} (x)$ .

$18 (- \sin (x)) + 18 (1) + 18 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $18$ из $18 (- \sin (x)) + 18 (1)$ .

$18 (- \sin (x) + 1) + 18 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $18$ из $18 (- \sin (x) + 1) + 18 (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$18 (- \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Изменим порядок членов.

$18 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Этап 2.2.2.1.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (x)$ .

$18 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Этап 2.2.2.1.2.2

Запишем $- 1$ как $1$ плюс $- 2$

$18 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

Этап 2.2.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$18 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Этап 2.2.2.1.2.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$18 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Этап 2.2.2.1.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$18 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Этап 2.2.2.1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$18 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

Этап 2.2.2.1.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 2 \sin (x) + 1$ .

$18 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$18 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $- 2 \sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $- 2 \sin (x) + 1$ к $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Этап 2.4.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 2.4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 2.4.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{6}$

Этап 2.4.2.6

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 2.4.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 2.4.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 2.4.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.6.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 2.4.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 2.4.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.4.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.4.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.4.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.5

Приравняем $\sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $\sin (x) + 1$ к $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $\sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) = - 1$

Этап 2.5.2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 2.5.2.4

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 2.5.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 2.5.2.5.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.5.2.6

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.5.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.5.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.5.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.5.2.7

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.7.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 2.5.2.7.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.5.2.7.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.7.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.5.2.7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.5.2.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.7.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 2.5.2.7.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 2.5.2.7.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.5.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $18 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.7

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = 18 \cos (x) + 9 \sin (2 x)$ в точке $x = \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 18 \cos (\frac{π}{6}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 18 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (9) (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cdot (9 (\frac{\sqrt{3}}{2})) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

Этап 3.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

Этап 3.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + 9 \sin (\frac{π}{3})$

Этап 3.2.1.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + 9 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 3.2.1.5

Объединим $9$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.2.2

Чтобы записать $9 \sqrt{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Объединим $9 \sqrt{3}$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{9 \sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{9 \sqrt{3} \cdot 2 + 9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $2$ на $9$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{18 \sqrt{3} + 9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.2.4.2

Добавим $18 \sqrt{3}$ и $9 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27 \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.2.5

Окончательный ответ: $\frac{27 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{27 \sqrt{3}}{2}$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = 18 \cos (x) + 9 \sin (2 x)$ в точке $x = \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Чтобы записать $\frac{2 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Этап 4.2.1.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим $\frac{2 π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Этап 4.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Этап 4.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π + 4 π}{6}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Этап 4.2.1.4.2

Добавим $π$ и $4 π$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{5 π}{6}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Этап 4.2.1.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 (- \cos (\frac{π}{6})) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Этап 4.2.1.6

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Этап 4.2.1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Этап 4.2.1.7.2

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 2 (9) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Этап 4.2.1.7.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 2 \cdot (9 (\frac{- \sqrt{3}}{2})) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Этап 4.2.1.7.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 9 (- \sqrt{3}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Этап 4.2.1.8

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Этап 4.2.1.9

Чтобы записать $\frac{2 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2}))$

Этап 4.2.1.10

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.10.1

Умножим $\frac{2 π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2}))$

Этап 4.2.1.10.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6}))$

Этап 4.2.1.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}))$

Этап 4.2.1.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.12.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π + 4 π}{6}))$

Этап 4.2.1.12.2

Добавим $π$ и $4 π$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 4.2.1.13

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.13.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

Этап 4.2.1.13.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

Этап 4.2.1.13.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (\frac{5 π}{3})$

Этап 4.2.1.14

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Этап 4.2.1.15

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 4.2.1.16

Умножим $9 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.16.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} - 9 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.1.16.2

Объединим $- 9$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + \frac{- 9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.1.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} - \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.2

Чтобы записать $- 9 \sqrt{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Объединим $- 9 \sqrt{3}$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = \frac{- 9 \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = \frac{- 9 \sqrt{3} \cdot 2 - 9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $2$ на $- 9$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = \frac{- 18 \sqrt{3} - 9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.4.2

Вычтем $9 \sqrt{3}$ из $- 18 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = \frac{- 27 \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - \frac{27 \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{27 \sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{27 \sqrt{3}}{2}$

Этап 5

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = 18 \cos (x) + 9 \sin (2 x)$ : $y = \frac{27 \sqrt{3}}{2}, y = - \frac{27 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{27 \sqrt{3}}{2}, y = - \frac{27 \sqrt{3}}{2}$

Этап 6