Математический анализ Примеры

$x^{3} + y^{3} - 9 x y = 0$

Этап 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3} - 9 x y$ as a function of $x$ .

$y = 0 \to f (x) = 0$

Этап 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} - 9 x y = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3} - 9 x y) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 2.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + y^{3} - 9 x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Этап 2.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Этап 2.2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Этап 2.2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x y$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \cdot 1)$

Этап 2.2.3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y)$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y') - 9 y$

Этап 2.2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y$

Этап 2.3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 2.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = 0$

Этап 2.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = - 3 x^{2}$

Этап 2.5.1.2

Добавим $9 y$ к обеим частям уравнения.

$3 y^{2} y' - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

Этап 2.5.2

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y^{2} y' - 9 x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

Этап 2.5.2.2

Вынесем множитель $3 y'$ из $- 9 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

Этап 2.5.2.3

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

Этап 2.5.3

Разделим каждый член $3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ на $3 (y^{2} - 3 x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Разделим каждый член $3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ на $3 (y^{2} - 3 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Этап 2.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Этап 2.5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Этап 2.5.3.2.2

Сократим общий множитель $y^{2} - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Этап 2.5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Этап 2.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Этап 2.5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Этап 2.5.3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Этап 2.5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Этап 2.5.3.3.1.3

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.3.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $9 y$ .

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Этап 2.5.3.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.3.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Этап 2.5.3.3.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 y}{y^{2} - 3 x}$

Этап 2.5.3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- x^{2} + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Этап 2.5.3.3.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$y' = \frac{- (x^{2}) + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Этап 2.5.3.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $3 y$ .

$y' = \frac{- (x^{2}) - (- 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Этап 2.5.3.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 3 y)$ .

$y' = \frac{- (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Этап 2.5.3.3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.3.2.5.1

Перепишем $- (x^{2} - 3 y)$ в виде $- 1 (x^{2} - 3 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Этап 2.5.3.3.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Этап 2.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем числитель к нулю.

$x^{2} - 3 y = 0$

Этап 3.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $3 y$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 3 y$

Этап 3.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{3 y}$

Этап 3.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{3 y}$

Этап 3.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{3 y}$

Этап 3.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

Этап 4

Solve the function $f (x) = 0$ at $x = \sqrt{3 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{3 y}$ .

$f (\sqrt{3 y}) = 0$

Этап 4.2

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 5

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0$

$y = 0, y = 0$

Этап 6