Математический анализ Примеры

$x^{2} - x y + 2 y^{2} = 1$

Этап 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x y + 2 y^{2} - 1 = 0$

Этап 1.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.3

Подставим значения $a = 2$ , $b = - x$ и $c = x^{2} - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (x^{2} - 1))}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.4

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.6

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.7

Вычтем $8 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Этап 1.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.4

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.6

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.7

Вычтем $8 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Этап 1.5.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Этап 1.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.6.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.6.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.6.1.4

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.6.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.6.1.6

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.6.1.7

Вычтем $8 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Этап 1.6.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Этап 1.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

$y = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

$y = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

$y = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Этап 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4} \to f (x) = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

$y = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4} \to f (x) = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Этап 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} - x y + 2 y^{2} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - x y + 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - x y + 2 y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Этап 3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Этап 3.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$2 x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Этап 3.2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Этап 3.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Этап 3.2.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$2 x - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Этап 3.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 y^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - (x y' + y) + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x - (x y' + y) + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x - (x y' + y) + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x - (x y' + y) + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x - (x y' + y) + 2 (2 y y')$

Этап 3.2.3.4

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x - (x y' + y) + 4 y y'$

Этап 3.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - (x y') - y + 4 y y'$

Этап 3.2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x - x y' - y + 4 y y'$

Этап 3.2.4.3

Изменим порядок членов.

$- x y' + 4 y y' + 2 x - y$

Этап 3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 3.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- x y' + 4 y y' + 2 x - y = 0$

Этап 3.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$- x y' + 4 y y' - y = - 2 x$

Этап 3.5.1.2

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$- x y' + 4 y y' = - 2 x + y$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $y'$ из $- x y' + 4 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $- x y'$ .

$y' (- x) + 4 y y' = - 2 x + y$

Этап 3.5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $4 y y'$ .

$y' (- x) + y' (4 y) = - 2 x + y$

Этап 3.5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- x) + y' (4 y)$ .

$y' (- x + 4 y) = - 2 x + y$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $y' (- x + 4 y) = - 2 x + y$ на $- x + 4 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $y' (- x + 4 y) = - 2 x + y$ на $- x + 4 y$ .

$\frac{y' (- x + 4 y)}{- x + 4 y} = \frac{- 2 x}{- x + 4 y} + \frac{y}{- x + 4 y}$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $- x + 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- x + 4 y)}{- x + 4 y} = \frac{- 2 x}{- x + 4 y} + \frac{y}{- x + 4 y}$

Этап 3.5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- x + 4 y} + \frac{y}{- x + 4 y}$

Этап 3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 2 x + y}{- x + 4 y}$

Этап 3.5.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) + y}{- x + 4 y}$

Этап 3.5.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- y)}{- x + 4 y}$

Этап 3.5.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (2 x - y)}{- x + 4 y}$

Этап 3.5.3.3.5

Перепишем $- (2 x - y)$ в виде $- 1 (2 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- x + 4 y}$

Этап 3.5.3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) + 4 y}$

Этап 3.5.3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $4 y$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - (- 4 y)}$

Этап 3.5.3.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - (- 4 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x - 4 y)}$

Этап 3.5.3.3.9

Перепишем $- (x - 4 y)$ в виде $- 1 (x - 4 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x - 4 y)}$

Этап 3.5.3.3.10

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x - 4 y)}$

Этап 3.5.3.3.11

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2 x - y}{x - 4 y}$

Этап 3.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y}{x - 4 y}$

Этап 4

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 x - y}{x - 4 y} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем числитель к нулю.

$2 x - y = 0$

Этап 4.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$2 x = y$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $2 x = y$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = y$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{y}{2}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{y}{2}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{y}{2}$

Этап 5

Solve the function $f (x) = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$ at $x = \frac{y}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{y}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{(\frac{y}{2}) + \sqrt{- 7 {(\frac{y}{2})}^{2} + 8}}{4}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{y}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{- 7 \frac{y^{2}}{2^{2}} + 8}}{4}$

Этап 5.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{- 7 \frac{y^{2}}{4} + 8}}{4}$

Этап 5.2.1.3

Объединим $- 7$ и $\frac{y^{2}}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{\frac{- 7 y^{2}}{4} + 8}}{4}$

Этап 5.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + 8}}{4}$

Этап 5.2.1.5

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + 8 \cdot \frac{4}{4}}}{4}$

Этап 5.2.1.6

Объединим $8$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}}}{4}$

Этап 5.2.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{\frac{- 7 y^{2} + 8 \cdot 4}{4}}}{4}$

Этап 5.2.1.8

Умножим $8$ на $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{\frac{- 7 y^{2} + 32}{4}}}{4}$

Этап 5.2.1.9

Перепишем $\frac{- 7 y^{2} + 32}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} (- 7 y^{2} + 32)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.9.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $- 7 y^{2} + 32$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{4}}}{4}$

Этап 5.2.1.9.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{2^{2} \cdot 1}}}{4}$

Этап 5.2.1.9.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (- 7 y^{2} + 32)}}{4}$

Этап 5.2.1.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{4}$

Этап 5.2.1.11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{- 7 y^{2} + 32}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \frac{\sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}}{4}$

Этап 5.2.1.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}}{4}$

Этап 5.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 5.2.3

Умножим $\frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $\frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2 \cdot 4}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $\frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$ .

$\frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

Этап 6

Solve the function $f (x) = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$ at $x = \frac{y}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{y}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{(\frac{y}{2}) - \sqrt{- 7 {(\frac{y}{2})}^{2} + 8}}{4}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{y}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{- 7 \frac{y^{2}}{2^{2}} + 8}}{4}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{- 7 \frac{y^{2}}{4} + 8}}{4}$

Этап 6.2.1.3

Объединим $- 7$ и $\frac{y^{2}}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{\frac{- 7 y^{2}}{4} + 8}}{4}$

Этап 6.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + 8}}{4}$

Этап 6.2.1.5

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + 8 \cdot \frac{4}{4}}}{4}$

Этап 6.2.1.6

Объединим $8$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}}}{4}$

Этап 6.2.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{\frac{- 7 y^{2} + 8 \cdot 4}{4}}}{4}$

Этап 6.2.1.8

Умножим $8$ на $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{\frac{- 7 y^{2} + 32}{4}}}{4}$

Этап 6.2.1.9

Перепишем $\frac{- 7 y^{2} + 32}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} (- 7 y^{2} + 32)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.9.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $- 7 y^{2} + 32$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{4}}}{4}$

Этап 6.2.1.9.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{2^{2} \cdot 1}}}{4}$

Этап 6.2.1.9.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (- 7 y^{2} + 32)}}{4}$

Этап 6.2.1.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 7 y^{2} + 32})}{4}$

Этап 6.2.1.11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{- 7 y^{2} + 32}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \frac{\sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}}{4}$

Этап 6.2.1.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}}{4}$

Этап 6.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 6.2.3

Умножим $\frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $\frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $\frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$ .

$\frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

Этап 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}, y = \frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

$y = \frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}, y = \frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

Этап 8