Математический анализ Примеры

$x^{3} + y^{3} = 7$

Этап 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$y^{3} = 7 - x^{3}$

Этап 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$

Этап 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \sqrt[3]{7 - x^{3}} \to f (x) = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$

Этап 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 7$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (7)$

Этап 3.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Этап 3.3

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 3.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 0$

Этап 3.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ на $3 y^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ на $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Этап 3.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Этап 3.5.2.2.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Этап 3.5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

Этап 3.5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 y^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2})}$

Этап 3.5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

Этап 3.5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2}}$

Этап 3.5.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Этап 3.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Этап 4

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{x^{2}}{y^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем числитель к нулю.

$x^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Solve the function $f (x) = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$ at $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \sqrt[3]{7 - {(0)}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \sqrt[3]{7 - 0}$

Этап 5.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = \sqrt[3]{7 + 0}$

Этап 5.2.3

Добавим $7$ и $0$ .

$f (0) = \sqrt[3]{7}$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $\sqrt[3]{7}$ .

$\sqrt[3]{7}$

Этап 6

The horizontal tangent lines are $y = \sqrt[3]{7}$

$y = \sqrt[3]{7}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = \sqrt[3]{7}$

Десятичная форма:

$y = 1.91293118 \dots$

Этап 8