Математический анализ Примеры

$x^{3} + y^{3} = 2 x y$

Этап 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3}$ as a function of $x$ .

$y = 2 x y \to f (x) = 2 x y$

Этап 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 2 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (2 x y)$

Этап 2.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Этап 2.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1)$

Этап 2.3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$2 (x y' + y)$

Этап 2.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x y' + 2 y$

Этап 2.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 2 x y' + 2 y$

Этап 2.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вычтем $2 x y'$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 x y' = 2 y$

Этап 2.5.2

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} y' - 2 x y' = 2 y - 3 x^{2}$

Этап 2.5.3

Вынесем множитель $y'$ из $3 y^{2} y' - 2 x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 2 x y' = 2 y - 3 x^{2}$

Этап 2.5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 x y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$

Этап 2.5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (3 y^{2}) + y' (- 2 x)$ .

$y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$

Этап 2.5.4

Разделим каждый член $y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$ на $3 y^{2} - 2 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Разделим каждый член $y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$ на $3 y^{2} - 2 x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 x)}{3 y^{2} - 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Этап 2.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1

Сократим общий множитель $3 y^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 x)}{3 y^{2} - 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Этап 2.5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Этап 2.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Этап 2.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем числитель к нулю.

$2 y - 3 x^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$- 3 x^{2} = - 2 y$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $- 3 x^{2} = - 2 y$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $- 3 x^{2} = - 2 y$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 2 y}{- 3}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 2 y}{- 3}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2 y}{- 3}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x^{2} = \frac{2 y}{3}$

Этап 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y}{3}}$

Этап 3.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{2 y}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{2 y}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 3.2.4.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 3.2.4.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 3.2.4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 3.2.4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 3.2.4.3.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.2.4.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2.4.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.2.4.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.2.4.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 3.2.4.3.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.2.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y \cdot 3}}{3}$

Этап 3.2.4.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Этап 3.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Этап 3.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Этап 3.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Этап 4

Solve the function $f (x) = 2 x y$ at $x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = 2 (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) \cdot y$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $2$ и $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Этап 4.2.2

Объединим $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ и $y$ .

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $\frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$

Этап 5

Solve the function $f (x) = 2 x y$ at $x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = 2 (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) \cdot y$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $2 (- \frac{\sqrt{6 y}}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - 2 \frac{\sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Этап 5.2.1.2

Объединим $- 2$ и $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{- 2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Этап 5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{(2) \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Этап 5.2.3

Объединим $y$ и $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{y (2 \sqrt{6 y})}{3}$

Этап 5.2.4

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

Этап 5.2.5

Окончательный ответ: $- \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$ .

$- \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

Этап 6

The horizontal tangent lines are $y = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}, y = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}, y = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

Этап 7