Математический анализ Примеры

$x^{2} - x$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1$

Этап 1.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 x - 1$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x - 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = x^{2} - x$ в точке $x = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2})$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2})$

Этап 3.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2})$

Этап 3.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Этап 3.2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Этап 3.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Этап 3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2}{4}$

Этап 3.2.5

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Этап 3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$

Этап 3.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Этап 4

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = x^{2} - x$ : $y = - \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Этап 5