Математический анализ Примеры

$x^{2} + 9 y^{2} = 1$

Этап 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$9 y^{2} = 1 - x^{2}$

Этап 1.2

Разделим каждый член $9 y^{2} = 1 - x^{2}$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $9 y^{2} = 1 - x^{2}$ на $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

Этап 1.2.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = \frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}$

Этап 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$

Этап 1.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$

Этап 1.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} - \frac{x^{2}}{9}}$

Этап 1.4.3

Перепишем $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - \frac{x^{2}}{9}}$

Этап 1.4.4

Перепишем $\frac{x^{2}}{9}$ в виде ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}$

Этап 1.4.5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{1}{3}$ и $b = \frac{x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{1}{3} + \frac{x}{3}) (\frac{1}{3} - \frac{x}{3})}$

Этап 1.4.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{3} (\frac{1}{3} - \frac{x}{3})}$

Этап 1.4.6.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{3} \cdot \frac{1 - x}{3}}$

Этап 1.4.6.3

Умножим $\frac{1 + x}{3}$ на $\frac{1 - x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{3 \cdot 3}}$

Этап 1.4.6.4

Умножим $3$ на $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{9}}$

Этап 1.4.7

Перепишем $\frac{(1 + x) (1 - x)}{9}$ в виде ${(\frac{1}{3})}^{2} ((1 + x) (1 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.7.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(1 + x) (1 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{9}}$

Этап 1.4.7.2

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Этап 1.4.7.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((1 + x) (1 - x))}$

Этап 1.4.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 1.4.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Этап 1.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Этап 1.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Этап 1.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Этап 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3} \to f (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3} \to f (x) = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Этап 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + 9 y^{2} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 9 y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 9 y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Этап 3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Этап 3.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 y^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x + 9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + 9 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x + 9 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + 9 (2 y y')$

Этап 3.2.2.4

Умножим $2$ на $9$ .

$2 x + 18 y y'$

Этап 3.2.3

Изменим порядок членов.

$18 y y' + 2 x$

Этап 3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 3.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$18 y y' + 2 x = 0$

Этап 3.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$18 y y' = - 2 x$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $18 y y' = - 2 x$ на $18 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $18 y y' = - 2 x$ на $18 y$ .

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Этап 3.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Этап 3.5.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Этап 3.5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{18 y}$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{18 y}$

Этап 3.5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $18 y$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (9 y)}$

Этап 3.5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (9 y)}$

Этап 3.5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- x}{9 y}$

Этап 3.5.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x}{9 y}$

Этап 3.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{9 y}$

Этап 4

Приравняем числитель к нулю.

$x = 0$

Этап 5

Solve the function $f (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Избавимся от скобок.

$f (0) = \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Этап 5.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1 (1 - (0))}}{3}$

Этап 5.2.2.2

Умножим $1 - (0)$ на $1$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1 - (0)}}{3}$

Этап 5.2.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1 + 0}}{3}$

Этап 5.2.2.4

Добавим $1$ и $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1}}{3}$

Этап 5.2.2.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (0) = \frac{1}{3}$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 6

Solve the function $f (x) = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Избавимся от скобок.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Этап 6.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 (1 - (0))}}{3}$

Этап 6.2.2.2

Умножим $1 - (0)$ на $1$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 - (0)}}{3}$

Этап 6.2.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 + 0}}{3}$

Этап 6.2.2.4

Добавим $1$ и $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1}}{3}$

Этап 6.2.2.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (0) = - \frac{1}{3}$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Этап 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{1}{3}, y = - \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3}, y = - \frac{1}{3}$

Этап 8