Математический анализ Примеры

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{3} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.4

Объединим $\frac{3}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} - 3 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $x^{2} - 3$ и $0$ .

$x^{2} - 3$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{2} - 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 3$

Этап 2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Этап 2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{3}$

Этап 2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{3}$

Этап 2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ в точке $x = \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\sqrt{3})}^{3} - 3 \sqrt{3} + 2$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3^{3}} - 3 \sqrt{3} + 2$

Этап 3.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{27} - 3 \sqrt{3} + 2$

Этап 3.2.1.3

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 (3)} - 3 \sqrt{3} + 2$

Этап 3.2.1.3.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3} - 3 \sqrt{3} + 2$

Этап 3.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{3} + 2$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (\sqrt{3})) - 3 \sqrt{3} + 2$

Этап 3.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{3} + 2$

Этап 3.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 2$

Этап 3.2.2

Вычтем $3 \sqrt{3}$ из $\sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = - 2 \sqrt{3} + 2$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $- 2 \sqrt{3} + 2$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ в точке $x = - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(- \sqrt{3})}^{3} - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Этап 4.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- {\sqrt{3}}^{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Этап 4.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{3^{3}}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Этап 4.2.1.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{27}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Этап 4.2.1.5

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{9 (3)}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Этап 4.2.1.5.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Этап 4.2.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- (3 \sqrt{3})) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Этап 4.2.1.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.7.1

Вынесем множитель $3$ из $- (3 \sqrt{3})$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- (\sqrt{3}))) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Этап 4.2.1.7.2

Сократим общий множитель.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- (\sqrt{3}))) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Этап 4.2.1.7.3

Перепишем это выражение.

$f (- \sqrt{3}) = - (\sqrt{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Этап 4.2.1.8

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 2$

Этап 4.2.2

Добавим $- \sqrt{3}$ и $3 \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 2 \sqrt{3} + 2$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $2 \sqrt{3} + 2$ .

$2 \sqrt{3} + 2$

Этап 5

Горизонтальные касательные функции $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ ― $y = - 2 \sqrt{3} + 2, y = 2 \sqrt{3} + 2$ .

$y = - 2 \sqrt{3} + 2, y = 2 \sqrt{3} + 2$

Этап 6