Математический анализ Примеры

${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$

Этап 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y - 2 = \pm \sqrt{4 (x - 3)}$

Этап 1.2

Упростим $\pm \sqrt{4 (x - 3)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{2^{2} (x - 3)}$

Этап 1.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$y - 2 = \pm 2 \sqrt{x - 3}$

Этап 1.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y - 2 = 2 \sqrt{x - 3}$

Этап 1.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Этап 1.3.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y - 2 = - 2 \sqrt{x - 3}$

Этап 1.3.4

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Этап 1.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Этап 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Этап 3

Because the $y$ variable in the equation ${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} ({(y - 2)}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 (x - 3))$

Этап 3.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем ${(y - 2)}^{2}$ в виде $(y - 2) (y - 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(y - 2) (y - 2)]$

Этап 3.2.2

Развернем $(y - 2) (y - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [y (y - 2) - 2 (y - 2)]$

Этап 3.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)]$

Этап 3.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

Этап 3.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

Этап 3.2.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2]$

Этап 3.2.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 y - 2 y + 4]$

Этап 3.2.3.2

Вычтем $2 y$ из $- 2 y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 4 y + 4]$

Этап 3.2.4

По правилу суммы производная $y^{2} - 4 y + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.2.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.2.6

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.2.7

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 y$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.2.8

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.2.9

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 y y' - 4 y' + 0$

Этап 3.2.10

Добавим $2 y y' - 4 y'$ и $0$ .

$2 y y' - 4 y'$

Этап 3.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 (x - 3)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x - 3]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x - 3]$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 (1 + 0)$

Этап 3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$4 \cdot 1$

Этап 3.3.5.2

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 3.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y y' - 4 y' = 4$

Этап 3.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y y' - 4 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y y'$ .

$2 y' y - 4 y' = 4$

Этап 3.5.1.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 4 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot - 2 = 4$

Этап 3.5.1.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' y + 2 y' \cdot - 2$ .

$2 y' (y - 2) = 4$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $2 y' (y - 2) = 4$ на $2 (y - 2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $2 y' (y - 2) = 4$ на $2 (y - 2)$ .

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Этап 3.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Этап 3.5.2.2.2

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Этап 3.5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

Этап 3.5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

Этап 3.5.2.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2}{y - 2}$

Этап 3.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 2}$

Этап 4

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2}{y - 2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем числитель к нулю.

$2 = 0$

Этап 4.2

Поскольку $2 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 5

Отсутствие решений в случае, когда производная равна $0$ , $\frac{2}{y - 2} = 0$ означает, что горизонтальные касательные отсутствуют.

Горизонтальные касательные не найдены

Этап 6