Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Этап 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $\frac{x^{2}}{16}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{2}}{4} = 1 - \frac{x^{2}}{16}$

Этап 1.2

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Этап 1.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Этап 1.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Этап 1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Упростим $4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 4 \cdot 1 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Этап 1.3.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$y^{2} = 4 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Этап 1.3.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{2}}{16}$ в числитель.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{16}$

Этап 1.3.2.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 (4)}$

Этап 1.3.2.1.3.3

Сократим общий множитель.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.3.2.1.3.4

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 4 + \frac{- x^{2}}{4}$

Этап 1.3.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = 4 - \frac{x^{2}}{4}$

Этап 1.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$

Этап 1.5

Упростим $\pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - \frac{x^{2}}{4}}$

Этап 1.5.1.2

Перепишем $\frac{x^{2}}{4}$ в виде ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Этап 1.5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = \frac{x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Этап 1.5.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Этап 1.5.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Этап 1.5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Этап 1.5.6

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Этап 1.5.7

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

Этап 1.5.8

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}$

Этап 1.5.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - x}{2}}$

Этап 1.5.10

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{4 - x}{2}}$

Этап 1.5.11

Умножим $\frac{4 + x}{2}$ на $\frac{4 - x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{2 \cdot 2}}$

Этап 1.5.12

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}}$

Этап 1.5.13

Перепишем $\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.13.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(4 + x) (4 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4}}$

Этап 1.5.13.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 1.5.13.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}$

Этап 1.5.14

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Этап 1.5.15

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Этап 1.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Этап 1.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Этап 1.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Этап 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2} \to f (x) = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2} \to f (x) = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Этап 3

Because the $y$ variable in the equation $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4}) = \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Этап 3.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Поскольку $\frac{1}{16}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2}}{16}$ по $x$ равна $\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Этап 3.2.2.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{16}$ .

$\frac{2}{16} x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Этап 3.2.2.4

Объединим $\frac{2}{16}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Этап 3.2.2.5

Сократим общий множитель $2$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Этап 3.2.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Этап 3.2.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Этап 3.2.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Этап 3.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{y^{2}}{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 y y')$

Этап 3.2.3.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2}{4} (y y')$

Этап 3.2.3.5

Объединим $y$ и $\frac{2}{4}$ .

$\frac{x}{8} + \frac{y \cdot 2}{4} y'$

Этап 3.2.3.6

Объединим $\frac{y \cdot 2}{4}$ и $y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{y \cdot 2 y'}{4}$

Этап 3.2.3.7

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 \cdot y y'}{4}$

Этап 3.2.3.8

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{4}$

Этап 3.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 2}$

Этап 3.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 2}$

Этап 3.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{8} + \frac{y y'}{2}$

Этап 3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 3.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{x}{8} + \frac{y y'}{2} = 0$

Этап 3.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вычтем $\frac{x}{8}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y y'}{2} = - \frac{x}{8}$

Этап 3.5.2

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{y y'}{2} = 2 (- \frac{x}{8})$

Этап 3.5.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y y'}{2} = 2 (- \frac{x}{8})$

Этап 3.5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y y' = 2 (- \frac{x}{8})$

Этап 3.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Упростим $2 (- \frac{x}{8})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{8}$ в числитель.

$y y' = 2 \frac{- x}{8}$

Этап 3.5.3.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$y y' = 2 \frac{- x}{2 (4)}$

Этап 3.5.3.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$y y' = 2 \frac{- x}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.3.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$y y' = \frac{- x}{4}$

Этап 3.5.3.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y y' = - \frac{x}{4}$

Этап 3.5.4

Разделим каждый член $y y' = - \frac{x}{4}$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Разделим каждый член $y y' = - \frac{x}{4}$ на $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

Этап 3.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

Этап 3.5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

Этап 3.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y' = - \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{y}$

Этап 3.5.4.3.2

Умножим $\frac{1}{y}$ на $\frac{x}{4}$ .

$y' = - \frac{x}{y \cdot 4}$

Этап 3.5.4.3.3

Перенесем $4$ влево от $y$ .

$y' = - \frac{x}{4 y}$

Этап 3.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{4 y}$

Этап 4

Приравняем числитель к нулю.

$x = 0$

Этап 5

Solve the function $f (x) = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Избавимся от скобок.

$f (0) = \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Этап 5.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $4$ и $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4 (4 - (0))}}{2}$

Этап 5.2.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4 (4 + 0)}}{2}$

Этап 5.2.2.3

Добавим $4$ и $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4 \cdot 4}}{2}$

Этап 5.2.2.4

Умножим $4$ на $4$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{16}}{2}$

Этап 5.2.2.5

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

Этап 5.2.2.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (0) = \frac{4}{2}$

Этап 5.2.3

Разделим $4$ на $2$ .

$f (0) = 2$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 6

Solve the function $f (x) = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Избавимся от скобок.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Этап 6.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $4$ и $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 (4 - (0))}}{2}$

Этап 6.2.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 (4 + 0)}}{2}$

Этап 6.2.2.3

Добавим $4$ и $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 \cdot 4}}{2}$

Этап 6.2.2.4

Умножим $4$ на $4$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{16}}{2}$

Этап 6.2.2.5

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

Этап 6.2.2.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (0) = - \frac{4}{2}$

Этап 6.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Разделим $4$ на $2$ .

$f (0) = - 1 \cdot 2$

Этап 6.2.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (0) = - 2$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 7

The horizontal tangent lines are $y = 2, y = - 2$

$y = 2, y = - 2$

Этап 8