Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}$

Этап 1

Определим, является ли функция нечетной, четной или ни той, ни другой, чтобы найти симметрию.

1. Нечетная функция симметрична относительно начала координат.

2. Четная функция симметрична относительно оси y.

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} - 16 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$f (x) = \sqrt{x^{2} x^{2} - 16 x^{2}}$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 16 x^{2}$ .

$f (x) = \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16}$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16$ .

$f (x) = \sqrt{x^{2} (x^{2} - 16)}$

Этап 2.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f (x) = \sqrt{x^{2} (x^{2} - 4^{2})}$

Этап 2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$f (x) = \sqrt{x^{2} (x + 4) (x - 4)}$

Этап 2.4

Перепишем $x^{2} (x + 4) (x - 4)$ в виде $x^{2} ((x + 2^{2}) (x - 4))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (x) = \sqrt{x^{2} (x + 2^{2}) (x - 4)}$

Этап 2.4.2

Добавим круглые скобки.

$f (x) = \sqrt{x^{2} ((x + 2^{2}) (x - 4))}$

Этап 2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (x) = x \sqrt{(x + 2^{2}) (x - 4)}$

Этап 2.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (x) = x \sqrt{(x + 4) (x - 4)}$

Этап 3

Найдем $f (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем $f (- x)$ , подставив $- x$ для всех вхождений $x$ в $f (x)$ .

$f (- x) = (- x) \sqrt{((- x) + 4) ((- x) - 4)}$

Этап 3.2

Избавимся от скобок.

$f (- x) = - x \sqrt{(- x + 4) (- x - 4)}$

Этап 4

Функция является четной, если $f (- x) = f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Проверим, верно ли $f (- x) = f (x)$ .

Этап 4.2

Так как $- x \sqrt{(- x + 4) (- x - 4)} = x \sqrt{(x + 4) (x - 4)}$ , эта функция является четной.

Функция является четной.

Этап 5

Поскольку данная функция не является нечетной, она не симметрична относительно начала координат.

Нет симметрии относительно начала координат

Этап 6

Поскольку данная функция является четной, она симметрична относительно оси Y.

Симметрия относительно оси y

Этап 7