Математический анализ Примеры

$y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 1

Существует три типа симметрии:

1. Симметрия относительно оси X.

2. Симметрия относительно оси Y

3. Симметрия относительно начала координат

Этап 2

Если $(x, y)$ лежит на графике, тогда график симметричен относительно:

1. Ось X, если $(x, - y)$ существует на графике.

2. Ось Y, если $(- x, y)$ существует на графике.

3. Начало координат, если $(- x, - y)$ существует на графике

Этап 3

Умножим $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ на $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ на $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 4.2

Возведем $\sqrt{x^{2} + 1}$ в степень $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 4.3

Возведем $\sqrt{x^{2} + 1}$ в степень $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1}}$

Этап 4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

Этап 4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 4.6

Перепишем ${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ в виде $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 1}$ в виде ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Этап 4.6.5

Упростим.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Этап 5

Check if the graph is symmetric about the $x$ -axis by plugging in $- y$ for $y$ .

$- y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Этап 6

Поскольку это уравнение не идентично исходному уравнению, оно не симметрично относительно оси X.

Не является симметричным относительно оси x

Этап 7

Check if the graph is symmetric about the $y$ -axis by plugging in $- x$ for $x$ .

$y = \frac{- x \sqrt{{(- x)}^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$y = \frac{- x \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Этап 8.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = \frac{- x \sqrt{1 x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Этап 8.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Этап 8.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}$

Этап 8.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{1 x^{2} + 1}$

Этап 8.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Этап 8.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Этап 9

Поскольку это уравнение не идентично исходному уравнению, оно не симметрично относительно оси Y.

Не является симметричным относительно оси y

Этап 10

Проверим симметричность графика относительно начала координат, подставляя $- x$ вместо $x$ и $- y$ вместо $y$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{{(- x)}^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Этап 11.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{1 x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Этап 11.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}$

Этап 11.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{1 x^{2} + 1}$

Этап 11.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Этап 11.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- y = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Этап 12

Умножим обе части на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим каждый член на $- 1$ .

$- - y = - - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Этап 12.2

Умножим $- - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y = - - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Этап 12.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y = - - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Этап 12.3

Умножим $- - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Этап 12.3.2

Умножим $\frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ на $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Этап 13

Поскольку это уравнение идентично исходному уравнению, оно симметрично относительно начала координат.

Симметричность относительно начала координат

Этап 14