Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Определим, является ли функция нечетной, четной или ни той, ни другой, чтобы найти симметрию.

1. Нечетная функция симметрична относительно начала координат.

2. Четная функция симметрична относительно оси y.

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 3

Найдем $f (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем $f (- x)$ , подставив $- x$ для всех вхождений $x$ в $f (x)$ .

$f (- x) = \frac{{(- x)}^{2}}{((- x) + 1) ((- x) - 1)}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = \frac{{(- 1)}^{2} x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Этап 3.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- x) = \frac{1 x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Этап 3.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Этап 3.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) + 1) (- x - 1)}$

Этап 3.3.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) - 1 \cdot - 1) (- x - 1)}$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- (x - 1) (- x - 1)}$

Этап 3.3.4

Перепишем $- (x - 1)$ в виде $- 1 (x - 1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- x - 1)}$

Этап 3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1)}$

Этап 3.3.6

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot 1)}$

Этап 3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x + 1))}$

Этап 3.3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.1

Перепишем $- (x + 1)$ в виде $- 1 (x + 1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- 1 (x + 1))}$

Этап 3.3.8.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{1 (x - 1) (x + 1)}$

Этап 3.3.8.3

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$

Этап 4

Функция является четной, если $f (- x) = f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Проверим, верно ли $f (- x) = f (x)$ .

Этап 4.2

Так как $\frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$ $\neq$ $\frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ , эта функция не является четной.

Функция является четной

Этап 5

Функция является нечетной, если $f (- x) = - f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $\frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$- f (x) = - \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.2

Так как $\frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$ $\neq$ $- \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ , эта функция не является нечетной.

Функция является нечетной

Этап 6

Функция не является ни четной, ни нечетной

Этап 7

Поскольку данная функция не является нечетной, она не симметрична относительно начала координат.

Нет симметрии относительно начала координат

Этап 8

Поскольку данная функция не является четной, она не симметрична относительно оси Y.

Нет симметрии относительно оси y

Этап 9

Поскольку данная функция не является ни четной, ни нечетной, она не симметрична ни относительно начала координат, ни относительно оси Y.

Функция не симметрична

Этап 10