Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Определим, является ли функция нечетной, четной или ни той, ни другой, чтобы найти симметрию.

1. Нечетная функция симметрична относительно начала координат.

2. Четная функция симметрична относительно оси y.

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем

$1$ в виде

$1^{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

$a = x$ и

$b = 1$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 3

Найдем

$f (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем

$f (- x)$ , подставив

$- x$ для всех вхождений

$x$ в

$f (x)$ .

$f (- x) = \frac{{(- x)}^{2}}{((- x) + 1) ((- x) - 1)}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило умножения к

$- x$ .

$f (- x) = \frac{{(- 1)}^{2} x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Этап 3.2.2

Возведем

$- 1$ в степень

$2$ .

$f (- x) = \frac{1 x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Этап 3.2.3

Умножим

$x^{2}$ на

$1$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Этап 3.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- x$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) + 1) (- x - 1)}$

Этап 3.3.2

Перепишем

$1$ в виде

$- 1 (- 1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) - 1 \cdot - 1) (- x - 1)}$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- (x) - 1 (- 1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- (x - 1) (- x - 1)}$

Этап 3.3.4

Перепишем

$- (x - 1)$ в виде

$- 1 (x - 1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- x - 1)}$

Этап 3.3.5

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- x$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1)}$

Этап 3.3.6

Перепишем

$- 1$ в виде

$- 1 (1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot 1)}$

Этап 3.3.7

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- (x) - 1 (1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x + 1))}$

Этап 3.3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.1

Перепишем

$- (x + 1)$ в виде

$- 1 (x + 1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- 1 (x + 1))}$

Этап 3.3.8.2

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{1 (x - 1) (x + 1)}$

Этап 3.3.8.3

Умножим

$x - 1$ на

$1$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$

Этап 4

Функция является четной, если

$f (- x) = f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Проверим, верно ли

$f (- x) = f (x)$ .

Этап 4.2

Так как

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$

$\neq$

$\frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ , эта функция не является четной.

Функция является четной

Этап 5

Функция является нечетной, если

$f (- x) = - f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим

$- 1$ на

$\frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$- f (x) = - \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.2

Так как

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$

$\neq$

$- \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ , эта функция не является нечетной.

Функция является нечетной

Этап 6

Функция не является ни четной, ни нечетной

Этап 7

Поскольку данная функция не является нечетной, она не симметрична относительно начала координат.

Нет симметрии относительно начала координат

Этап 8

Поскольку данная функция не является четной, она не симметрична относительно оси Y.

Нет симметрии относительно оси y

Этап 9

Поскольку данная функция не является ни четной, ни нечетной, она не симметрична ни относительно начала координат, ни относительно оси Y.

Функция не симметрична

Этап 10