Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 x^{2}$ , $16 x + y + 6 = 0$

Этап 1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $16 x$ из обеих частей уравнения.

$y + 6 = - 16 x$

Этап 1.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$y = - 16 x - 6$

Этап 2

Используем уравнение с угловым коэффициентом, чтобы найти угловой коэффициент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Уравнение с угловым коэффициентом имеет вид $y = m x + b$ , где $m$ — угловой коэффициент, а $b$ — точка пересечения с осью y.

$y = m x + b$

Этап 2.2

Использование уравнения с угловым коэффициентом, угловой коэффициент: $- 16$ .

$m = - 16$

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{2}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 (2 x)$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $8$ .

$16 x$

Этап 4

Первая производная функции представляет наклон в каждой точке этой функции. В этом случае производная $f (x) = 8 x^{2}$ равна $16 x$ , а угловой коэффициент данной прямой $y = - 16 x - 6$ равен $m = - 16$ . Чтобы найти точку на $f (x) = 8 x^{2}$ , в которой угловой коэффициент касательной совпадает с угловым коэффициентом данной прямой $y = - 16 x - 6$ , подставим значение углового коэффициента данной прямой $- 16$ в $16 x$ .

$- 16 = 16 x$

Этап 5

Решим $- 16 = 16 x$ относительно $x$ , чтобы найти ординату точки, в которой касательная параллельна заданной прямой $y = - 16 x - 6$ . В данном случае ордината точки равна $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $16 x = - 16$ .

$16 x = - 16$

Этап 5.2

Разделим каждый член $16 x = - 16$ на $16$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $16 x = - 16$ на $16$ .

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 16}{16}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 16}{16}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 16}{16}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим $- 16$ на $16$ .

$x = - 1$

Этап 6

Подставим $- 1$ в $f (x) = 8 x^{2}$ , чтобы получить y-координату точки, в которой касательная параллельна данной прямой $y = - 16 x - 6$ . В данном случае y-координата равна $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 8 {(- 1)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 8 \cdot 1$

Этап 6.2.2

Умножим $8$ на $1$ .

$f (- 1) = 8$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $8$ .

$8$

Этап 7

Точка на графике $f (x) = 8 x^{2}$ , где угловой коэффициент касательной совпадает с угловым коэффициентом заданной прямой $y = - 16 x - 6$ , с x-координатой $- 1$ и y-координатой $8$ . Угловой коэффициент касательной совпадает с угловым коэффициентом прямой $y = - 16 x - 6$ , который равен $m = - 16$ .

$(- 1, 8), m = - 16$

Этап 8

Касательная в точке $(- 1, 8)$ , где угловой коэффициент равен $m = - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $b$ , используя уравнение прямой.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Найдем $b$ с помощью уравнения прямой.

$y = m x + b$

Этап 8.1.2

Подставим значение $m$ в уравнение.

$y = (- 16) \cdot x + b$

Этап 8.1.3

Подставим значение $x$ в уравнение.

$y = (- 16) \cdot (- 1) + b$

Этап 8.1.4

Подставим значение $y$ в уравнение.

$8 = (- 16) \cdot (- 1) + b$

Этап 8.1.5

Найдем значение $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

Перепишем уравнение в виде $(- 16) \cdot (- 1) + b = 8$ .

$(- 16) \cdot (- 1) + b = 8$

Этап 8.1.5.2

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$16 + b = 8$

Этап 8.1.5.3

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.3.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$b = 8 - 16$

Этап 8.1.5.3.2

Вычтем $16$ из $8$ .

$b = - 8$

Этап 8.2

Теперь, когда известны значения $m$ (углового коэффициента) и $b$ (координат точки пересечения с осью y), подставим их в $y = m x + b$ , чтобы найти уравнение прямой.

$y = - 16 x - 8$

Этап 9