Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} - 2$ , $(1, - 1)$

Этап 1

Проверим, лежит ли заданная точка на графике заданной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем значение $f (x) = x^{3} - 2$ в точке $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = {(1)}^{3} - 2$

Этап 1.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 - 2$

Этап 1.1.2.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (1) = - 1$

Этап 1.1.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 1.2

Поскольку $- 1 = - 1$ , точка лежит на графике.

Точка лежит на графике

Этап 2

Угловой коэффициент касательной равен производной выражения.

$m$ $=$ Производная от $f (x) = x^{3} - 2$

Этап 3

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 4

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 2$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

Этап 4.1.2.2

Окончательный ответ: $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

Этап 4.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

Этап 4.2.2

Перенесем $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2$

Этап 4.2.3

Перенесем $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 2$

Этап 4.2.4

Перенесем $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

Этап 4.2.5

Изменим порядок $3 h^{2} x$ и $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

Этап 4.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

$f (x) = x^{3} - 2$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

$f (x) = x^{3} - 2$

Этап 5

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - (x^{3} - 2)}{h}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - x^{3} + 2}{h}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - x^{3} + 2}{h}$

Этап 6.1.3

Вычтем $x^{3}$ из $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0 - 2 + 2}{h}$

Этап 6.1.4

Добавим $h^{3}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 + 2}{h}$

Этап 6.1.5

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0}{h}$

Этап 6.1.6

Добавим $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

Этап 6.1.7

Вынесем множитель $h$ из $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.7.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

Этап 6.1.7.2

Вынесем множитель $h$ из $3 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2}}{h}$

Этап 6.1.7.3

Вынесем множитель $h$ из $3 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

Этап 6.1.7.4

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

Этап 6.1.7.5

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Этап 6.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$

Этап 6.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перенесем $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2}$

Этап 6.2.2.2

Перенесем $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2}$

Этап 6.2.2.3

Изменим порядок $3 x h$ и $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Этап 8

Найдем предел $3 x^{2}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Этап 9

Вынесем член $3 x$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Этап 10

Вынесем степень $2$ в выражении $h^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Этап 11.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Умножим $3 x \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Умножим $0$ на $3$ .

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2}$

Этап 12.1.1.2

Умножим $0$ на $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 0^{2}$

Этап 12.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0$

Этап 12.2

Объединим противоположные члены в $3 x^{2} + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Этап 12.2.2

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$3 x^{2}$

Этап 13

Найдем угловой коэффициент $m$ . В этом случае $m = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Избавимся от скобок.

$m = 3 \cdot 1^{2}$

Этап 13.2

Упростим $3 \cdot 1^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$m = 3 \cdot 1$

Этап 13.2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$m = 3$

Этап 14

Угловой коэффициент равен $m = 3$ , а точка ― $(1, - 1)$ .

$m = 3, (1, - 1)$

Этап 15

Найдем значение $b$ , используя уравнение прямой.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Найдем $b$ с помощью уравнения прямой.

$y = m x + b$

Этап 15.2

Подставим значение $m$ в уравнение.

$y = (3) \cdot x + b$

Этап 15.3

Подставим значение $x$ в уравнение.

$y = (3) \cdot (1) + b$

Этап 15.4

Подставим значение $y$ в уравнение.

$- 1 = (3) \cdot (1) + b$

Этап 15.5

Найдем значение $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1

Перепишем уравнение в виде $(3) \cdot (1) + b = - 1$ .

$(3) \cdot (1) + b = - 1$

Этап 15.5.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + b = - 1$

Этап 15.5.3

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.3.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$b = - 1 - 3$

Этап 15.5.3.2

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$b = - 4$

Этап 16

Теперь, когда известны значения $m$ (углового коэффициента) и $b$ (координат точки пересечения с осью y), подставим их в $y = m x + b$ , чтобы найти уравнение прямой.

$y = 3 x - 4$

Этап 17