Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ , $(1, 2)$

Этап 1

Проверим, лежит ли заданная точка на графике заданной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем значение $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ в точке $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 6$

Этап 1.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 - 5 \cdot 1 + 6$

Этап 1.1.2.1.2

Умножим $- 5$ на $1$ .

$f (1) = 1 - 5 + 6$

Этап 1.1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Вычтем $5$ из $1$ .

$f (1) = - 4 + 6$

Этап 1.1.2.2.2

Добавим $- 4$ и $6$ .

$f (1) = 2$

Этап 1.1.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 1.2

Поскольку $2 = 2$ , точка лежит на графике.

Точка лежит на графике

Этап 2

Угловой коэффициент касательной равен производной выражения.

$m$ $=$ Производная от $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Этап 3

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 4

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} - 5 (x + h) + 6$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) - 5 (x + h) + 6$

Этап 4.1.2.1.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) - 5 (x + h) + 6$

Этап 4.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) - 5 (x + h) + 6$

Этап 4.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 5 (x + h) + 6$

Этап 4.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h - 5 (x + h) + 6$

Этап 4.1.2.1.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

Этап 4.1.2.1.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

Этап 4.1.2.1.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

Этап 4.1.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$

Этап 4.1.2.2

Окончательный ответ: $x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$

Этап 4.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перенесем $- 5 x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 h - 5 x + 6$

Этап 4.2.2

Перенесем $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

Этап 4.2.3

Изменим порядок $2 h x$ и $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

Этап 4.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Этап 5

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - (x^{2} - 5 x + 6)}{h}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 6}{h}$

Этап 6.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} + 5 x - 1 \cdot 6}{h}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} + 5 x - 6}{h}$

Этап 6.1.3

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h - 5 x + 6 + 0 + 5 x - 6}{h}$

Этап 6.1.4

Добавим $h^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h - 5 x + 6 + 5 x - 6}{h}$

Этап 6.1.5

Добавим $- 5 x$ и $5 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 0 + 6 - 6}{h}$

Этап 6.1.6

Добавим $h^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 6 - 6}{h}$

Этап 6.1.7

Вычтем $6$ из $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 0}{h}$

Этап 6.1.8

Добавим $h^{2} + 2 h x - 5 h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h}{h}$

Этап 6.1.9

Вынесем множитель $h$ из $h^{2} + 2 h x - 5 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.9.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x - 5 h}{h}$

Этап 6.1.9.2

Вынесем множитель $h$ из $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) - 5 h}{h}$

Этап 6.1.9.3

Вынесем множитель $h$ из $- 5 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot - 5}{h}$

Этап 6.1.9.4

Вынесем множитель $h$ из $h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot - 5}{h}$

Этап 6.1.9.5

Вынесем множитель $h$ из $h (h + 2 x) + h \cdot - 5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x - 5)}{h}$

Этап 6.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x - 5)}{h}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $h + 2 x - 5$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x - 5$

Этап 6.2.2

Изменим порядок $h$ и $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h - 5$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

Этап 7.2

Найдем предел $2 x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

Этап 7.3

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 5$

Этап 8

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$2 x + 0 - 1 \cdot 5$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x - 1 \cdot 5$

Этап 9.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$2 x - 5$

Этап 10

Упростим $2 (1) - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $2$ на $1$ .

$m = 2 - 5$

Этап 10.2

Вычтем $5$ из $2$ .

$m = - 3$

Этап 11

Угловой коэффициент равен $m = - 3$ , а точка ― $(1, 2)$ .

$m = - 3, (1, 2)$

Этап 12

Найдем значение $b$ , используя уравнение прямой.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем $b$ с помощью уравнения прямой.

$y = m x + b$

Этап 12.2

Подставим значение $m$ в уравнение.

$y = (- 3) \cdot x + b$

Этап 12.3

Подставим значение $x$ в уравнение.

$y = (- 3) \cdot (1) + b$

Этап 12.4

Подставим значение $y$ в уравнение.

$2 = (- 3) \cdot (1) + b$

Этап 12.5

Найдем значение $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Перепишем уравнение в виде $(- 3) \cdot (1) + b = 2$ .

$(- 3) \cdot (1) + b = 2$

Этап 12.5.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3 + b = 2$

Этап 12.5.3

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.3.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$b = 2 + 3$

Этап 12.5.3.2

Добавим $2$ и $3$ .

$b = 5$

Этап 13

Теперь, когда известны значения $m$ (углового коэффициента) и $b$ (координат точки пересечения с осью y), подставим их в $y = m x + b$ , чтобы найти уравнение прямой.

$y = - 3 x + 5$

Этап 14