Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$ , $(0, 1)$

Этап 1

Проверим, лежит ли заданная точка на графике заданной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем значение $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ в точке $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{1}{(0) + 1}$

Этап 1.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Добавим $0$ и $1$ .

$f (0) = \frac{1}{1}$

Этап 1.1.2.2

Разделим $1$ на $1$ .

$f (0) = 1$

Этап 1.1.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 1.2

Поскольку $1 = 1$ , точка лежит на графике.

Точка лежит на графике

Этап 2

Угловой коэффициент касательной равен производной выражения.

$m$ $=$ Производная от $f (x) = \frac{1}{x + 1}$

Этап 3

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 4

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{(x + h) + 1}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

Этап 4.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{1}{x + h + 1}$ .

$\frac{1}{x + h + 1}$

Этап 4.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

Этап 5

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} - (\frac{1}{x + 1})}{h}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Чтобы записать $\frac{1}{x + h + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}}{h}$

Этап 6.1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Этап 6.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h + 1) (x + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Умножим $\frac{1}{x + h + 1}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Этап 6.1.3.2

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 6.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x + h + 1) (x + 1)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 6.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 6.1.5

Перепишем $\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 6.1.5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 6.1.5.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 + 1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 6.1.5.4

Добавим $0$ и $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 6.1.5.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 6.1.5.6

Добавим $- h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 6.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 6.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}$ в числитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $h$ из $- h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 6.3.3

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 6.3.4

Перепишем это выражение.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Этап 6.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Этап 7.2

Вынесем член $\frac{1}{x + 1}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- \frac{1}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

Этап 7.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Этап 7.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Этап 7.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Этап 7.6

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Этап 7.7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

Этап 8

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $x$ и $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Этап 9.2

Умножим $- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $\frac{1}{x + 1}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) (x + 1)}$

Этап 9.2.2

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

Этап 9.2.3

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

Этап 9.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

Этап 9.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 10

Найдем угловой коэффициент $m$ . В этом случае $m = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Избавимся от скобок.

$m = - \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Этап 10.2

Избавимся от скобок.

$m = - \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$

Этап 10.3

Упростим $- \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.1

Добавим $0$ и $1$ .

$m = - \frac{1}{1^{2}}$

Этап 10.3.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$m = - \frac{1}{1}$

Этап 10.3.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$m = - \frac{1}{1}$

Этап 10.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$m = - 1 \cdot 1$

Этап 10.3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$m = - 1$

Этап 11

Угловой коэффициент равен $m = - 1$ , а точка ― $(0, 1)$ .

$m = - 1, (0, 1)$

Этап 12

Найдем значение $b$ , используя уравнение прямой.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем $b$ с помощью уравнения прямой.

$y = m x + b$

Этап 12.2

Подставим значение $m$ в уравнение.

$y = (- 1) \cdot x + b$

Этап 12.3

Подставим значение $x$ в уравнение.

$y = (- 1) \cdot (0) + b$

Этап 12.4

Подставим значение $y$ в уравнение.

$1 = (- 1) \cdot (0) + b$

Этап 12.5

Найдем значение $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Перепишем уравнение в виде $(- 1) \cdot (0) + b = 1$ .

$(- 1) \cdot (0) + b = 1$

Этап 12.5.2

Упростим $(- 1) \cdot (0) + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 + b = 1$

Этап 12.5.2.2

Добавим $0$ и $b$ .

$b = 1$

Этап 13

Теперь, когда известны значения $m$ (углового коэффициента) и $b$ (координат точки пересечения с осью y), подставим их в $y = m x + b$ , чтобы найти уравнение прямой.

$y = - x + 1$

Этап 14