Математический анализ Примеры

$y = 5 + 0.6 x - 0.3 x^{2}$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 (x + h) - 0.3 {(x + h)}^{2}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 {(x + h)}^{2}$

Этап 2.1.2.1.2

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 ((x + h) (x + h))$

Этап 2.1.2.1.3

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x (x + h) + h (x + h))$

Этап 2.1.2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Этап 2.1.2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Этап 2.1.2.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Этап 2.1.2.1.4.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Этап 2.1.2.1.4.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.4.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Этап 2.1.2.1.4.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Этап 2.1.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.3 (2 h x) - 0.3 h^{2}$

Этап 2.1.2.1.6

Умножим $2$ на $- 0.3$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2}$ .

$5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2}$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $5$ .

$0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2} + 5$

Этап 2.2.2

Перенесем $0.6 x$ .

$0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2} + 0.6 x + 5$

Этап 2.2.3

Перенесем $0.6 h$ .

$- 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

Этап 2.2.4

Перенесем $- 0.3 x^{2}$ .

$- 0.6 h x - 0.3 h^{2} - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

Этап 2.2.5

Изменим порядок $- 0.6 h x$ и $- 0.3 h^{2}$ .

$- 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = - 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

$f (x) = 5 + 0.6 x - 0.3 x^{2}$

$f (x + h) = - 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

$f (x) = 5 + 0.6 x - 0.3 x^{2}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (5 + 0.6 x - 0.3 x^{2})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $0.1$ из $- 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (5 + 0.6 x - 0.3 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.1

Перенесем $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (5 + 0.6 x - 0.3 x^{2})}{h}$

Этап 4.1.1.1.2

Перенесем $5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (0.6 x - 0.3 x^{2} + 5)}{h}$

Этап 4.1.1.1.3

Изменим порядок $0.6 x$ и $- 0.3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Этап 4.1.1.2

Вынесем множитель $0.1$ из $- 0.3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Этап 4.1.1.3

Вынесем множитель $0.1$ из $- 0.6 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Этап 4.1.1.4

Вынесем множитель $0.1$ из $- 0.3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Этап 4.1.1.5

Вынесем множитель $0.1$ из $0.6 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Этап 4.1.1.6

Вынесем множитель $0.1$ из $0.6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Этап 4.1.1.7

Вынесем множитель $0.1$ из $5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Этап 4.1.1.8

Вынесем множитель $0.1$ из $- (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Этап 4.1.1.9

Вынесем множитель $0.1$ из $0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Этап 4.1.1.10

Вынесем множитель $0.1$ из $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Этап 4.1.1.11

Вынесем множитель $0.1$ из $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2}) + 0.1 (6 h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Этап 4.1.1.12

Вынесем множитель $0.1$ из $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h) + 0.1 (6 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Этап 4.1.1.13

Вынесем множитель $0.1$ из $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x) + 0.1 (50)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Этап 4.1.1.14

Вынесем множитель $0.1$ из $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 - 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 - 10 (- 0.3 x^{2}) - 10 (0.6 x) - 10 \cdot 5)}{h}$

Этап 4.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $- 0.3$ на $- 10$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 + 3 x^{2} - 10 (0.6 x) - 10 \cdot 5)}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $0.6$ на $- 10$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 + 3 x^{2} - 6 x - 10 \cdot 5)}{h}$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 10$ на $5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 + 3 x^{2} - 6 x - 50)}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $- 3 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 - 6 x - 50)}{h}$

Этап 4.1.5

Вычтем $6 x$ из $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x + 50 - 50)}{h}$

Этап 4.1.6

Вычтем $50$ из $50$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x + 0)}{h}$

Этап 4.1.7

Добавим $- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x)}{h}$

Этап 4.1.8

Перепишем $- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x)}{h}$

Этап 4.1.8.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 6 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 0 x^{2} + 6 h + 0 x)}{h}$

Этап 4.1.8.1.3

Вынесем множитель $3$ из $0 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 6 h + 0 x)}{h}$

Этап 4.1.8.1.4

Вынесем множитель $3$ из $6 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (2 h) + 0 x)}{h}$

Этап 4.1.8.1.5

Вынесем множитель $3$ из $0 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (2 h) + 3 (0 x))}{h}$

Этап 4.1.8.1.6

Вынесем множитель $3$ из $3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (2 h) + 3 (0 x))}{h}$

Этап 4.1.8.1.7

Вынесем множитель $3$ из $3 (- h^{2} - 2 x h) + 3 (0 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2}) + 3 (2 h) + 3 (0 x))}{h}$

Этап 4.1.8.1.8

Вынесем множитель $3$ из $3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2}) + 3 (2 h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 2 h) + 3 (0 x))}{h}$

Этап 4.1.8.1.9

Вынесем множитель $3$ из $3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 2 h) + 3 (0 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 2 h + 0 x))}{h}$

Этап 4.1.8.2

Умножим $0$ на $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h + 0 x))}{h}$

Этап 4.1.8.3

Умножим $0$ на $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h + 0))}{h}$

Этап 4.1.8.4

Добавим $- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h))}{h}$

Этап 4.1.8.5

Добавим $- h^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 2 h))}{h}$

Этап 4.1.8.6

Вынесем множитель $h$ из $- h^{2} - 2 x h + 2 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.6.1

Вынесем множитель $h$ из $- h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h) - 2 x h + 2 h))}{h}$

Этап 4.1.8.6.2

Вынесем множитель $h$ из $- 2 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h) + h (- 2 x) + 2 h))}{h}$

Этап 4.1.8.6.3

Вынесем множитель $h$ из $2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 2))}{h}$

Этап 4.1.8.6.4

Вынесем множитель $h$ из $h (- h) + h (- 2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h - 2 x) + h \cdot 2))}{h}$

Этап 4.1.8.6.5

Вынесем множитель $h$ из $h (- h - 2 x) + h \cdot 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h - 2 x + 2)))}{h}$

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 h (- h - 2 x + 2))}{h}$

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 \cdot (3 h (- h - 2 x + 2))}{h}$

Этап 4.1.9

Умножим $0.1$ на $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.3 h (- h - 2 x + 2)}{h}$

Этап 4.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.3 h (- h - 2 x + 2)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $0.3 (- h - 2 x + 2)$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 0.3 (- h - 2 x + 2)$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 0.3 (- h) + 0.3 (- 2 x) + 0.3 \cdot 2$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $0.3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.3 h + 0.3 (- 2 x) + 0.3 \cdot 2$

Этап 4.3.2

Умножим $- 2$ на $0.3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.3 h - 0.6 x + 0.3 \cdot 2$

Этап 4.3.3

Умножим $0.3$ на $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.3 h - 0.6 x + 0.6$

Этап 4.4

Изменим порядок $- 0.3 h$ и $- 0.6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.6 x - 0.3 h + 0.6$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$- lim_{h \to 0} 0.6 x - lim_{h \to 0} 0.3 h + lim_{h \to 0} 0.6$

Этап 5.2

Найдем предел $0.6 x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- 0.6 x - lim_{h \to 0} 0.3 h + lim_{h \to 0} 0.6$

Этап 5.3

Вынесем член $0.3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- 0.6 x - 0.3 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 0.6$

Этап 5.4

Найдем предел $0.6$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- 0.6 x - 0.3 lim_{h \to 0} h + 0.6$

Этап 6

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$- 0.6 x - 0.3 \cdot 0 + 0.6$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 0.3$ на $0$ .

$- 0.6 x + 0 + 0.6$

Этап 7.2

Добавим $- 0.6 x$ и $0$ .

$- 0.6 x + 0.6$

Этап 8