Математический анализ Примеры

$\frac{\sin (2 x)}{1 + \sin (2 x)}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{\sin (2 x)}{1 + \sin (2 x)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$1 + \sin (2 x) = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (2 x) = - 1$

Этап 2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (- 1)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$2 x = - \frac{π}{2}$

Этап 2.4

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Этап 2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 2.4.3.2

Умножим $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 2.5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 2.6.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.6.3

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 2.6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 2.6.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 2.6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 2.6.3.3.2

Умножим $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.3.2.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.3.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 2.7

Найдем период $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.7.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 2.7.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.8

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 2.8.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 2.8.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 2.8.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 2.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 2.8.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 2.8.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 2.9

Период функции $\sin (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.10

Объединим ответы.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Обозначение построения множества:

${x | x \neq \frac{3 π}{4} + π n}$ , для любого целого $n$

Этап 4

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \leq - 1, y \geq 1}$

Этап 5

Определим область определения и множество значений.

Область определения: ${x | x \neq \frac{3 π}{4} + π n}$ , для любого целого $n$

Диапазон: $(- \infty, - 1] \cup [1, \infty), {y | y \leq - 1, y \geq 1}$

Этап 6