Математический анализ Примеры

$\sqrt{x}$ , $(1, 1)$

Этап 1

Запишем $\sqrt{x}$ в виде функции.

$f (x) = \sqrt{x}$

Этап 2

Проверим, лежит ли заданная точка на графике заданной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение $f (x) = \sqrt{x}$ в точке $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \sqrt{1}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (1) = \sqrt{1}$

Этап 2.1.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (1) = 1$

Этап 2.1.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 2.2

Поскольку $1 = 1$ , точка лежит на графике.

Точка лежит на графике

Этап 3

Угловой коэффициент касательной равен производной выражения.

$m$ $=$ Производная от $f (x) = \sqrt{x}$

Этап 4

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 5

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

Этап 5.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

Этап 5.1.2.2

Окончательный ответ: $\sqrt{x + h}$ .

$\sqrt{x + h}$

Этап 5.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

$f (x) = \sqrt{x}$

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

$f (x) = \sqrt{x}$

Этап 6

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - (\sqrt{x})}{h}$

Этап 7

Умножим $- 1$ на $\sqrt{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$

Этап 8

Так как в области определения $\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$ слева от $0$ нет значений, предел не существует.

$Не существует$

Этап 9

Найдем угловой коэффициент $m$ . В этом случае $m = D o e s (n o t) (e (1) i s t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $e$ на $1$ .

$m = D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t))$

Этап 9.2

Избавимся от скобок.

$m = D o e s (n o t) (e (1) i s t)$

Этап 10

Угловой коэффициент равен $m = D o e s (n o t) (e (1) i s t)$ , а точка ― $(1, 1)$ .

$m = D o e s (n o t) (e (1) i s t)$

$m = (1, 1)$

Этап 11

Умножим $e$ на $1$ .

$m = D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t))$

Этап 12

Найдем значение $b$ , используя уравнение прямой.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем $b$ с помощью уравнения прямой.

$y = m x + b$

Этап 12.2

Подставим значение $m$ в уравнение.

$y = (D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t))) \cdot x + b$

Этап 12.3

Подставим значение $x$ в уравнение.

$y = (D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t))) \cdot (1) + b$

Этап 12.4

Подставим значение $y$ в уравнение.

$1 = (D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t))) \cdot (1) + b$

Этап 12.5

Найдем значение $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Перепишем уравнение в виде $D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t)) \cdot 1 + b = 1$ .

$D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t)) \cdot 1 + b = 1$

Этап 12.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.1

Умножим $o$ на $o$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.1.1

Перенесем $o$ .

$D (o \cdot o) e s (n t) (e \cdot (1 i s t)) \cdot 1 + b = 1$

Этап 12.5.2.1.2

Умножим $o$ на $o$ .

$D o^{2} e s (n t) (e \cdot (1 i s t)) \cdot 1 + b = 1$

Этап 12.5.2.2

Упростим $D o^{2} e s (n t) (e \cdot (1 i s t)) \cdot 1$ .

$D o^{2} e s (n t) (e \cdot (i s t)) + b = 1$

Этап 12.5.2.3

Умножим $s$ на $s$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.3.1

Перенесем $s$ .

$D o^{2} e (s \cdot s) (n t) (e \cdot (i t)) + b = 1$

Этап 12.5.2.3.2

Умножим $s$ на $s$ .

$D o^{2} e s^{2} (n t) (e \cdot (i t)) + b = 1$

Этап 12.5.2.4

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.4.1

Перенесем $t$ .

$D o^{2} e s^{2} (n (t \cdot t)) (e \cdot (i)) + b = 1$

Этап 12.5.2.4.2

Умножим $t$ на $t$ .

$D o^{2} e s^{2} (n t^{2}) (e \cdot (i)) + b = 1$

Этап 12.5.2.5

Умножим $D o^{2} e s^{2} n t^{2} (e i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.5.1

Возведем $e$ в степень $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (e^{1} e i) + b = 1$

Этап 12.5.2.5.2

Возведем $e$ в степень $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (e^{1} e^{1} i) + b = 1$

Этап 12.5.2.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (e^{1 + 1} i) + b = 1$

Этап 12.5.2.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (e^{2} i) + b = 1$

$D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i + b = 1$

Этап 12.5.3

Вычтем $D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$ из обеих частей уравнения.

$b = 1 - D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$

Этап 13

Теперь, когда известны значения $m$ (углового коэффициента) и $b$ (координат точки пересечения с осью y), подставим их в $y = m x + b$ , чтобы найти уравнение прямой.

$y = D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i x + 1 - D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$

Этап 14