Математический анализ Примеры

$f (x) = \log_{8} (\frac{x - 8}{x})$

Этап 1

Зададим аргумент в $\log_{8} (\frac{x - 8}{x})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{x - 8}{x} > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x = 0$

$x - 8 = 0$

Этап 2.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 2.3

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = 8$

Этап 2.4

Объединим решения.

$x = 0, 8$

Этап 2.5

Найдем область определения $\frac{x - 8}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 8}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 2.5.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 2.6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 8$

$x > 8$

Этап 2.7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 2.7.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 2) - 8}{- 2} > 0$

Этап 2.7.1.3

Левая часть $5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.7.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 2.7.2.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(4) - 8}{4} > 0$

Этап 2.7.2.3

Левая часть $- 1$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.7.3

Проверим значение на интервале $x > 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Выберем значение на интервале $x > 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 2.7.3.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$\frac{(10) - 8}{10} > 0$

Этап 2.7.3.3

Левая часть $0.2$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < 8$ Ложь

$x > 8$ Истина

$x < 0$ Истина

$0 < x < 8$ Ложь

$x > 8$ Истина

Этап 2.8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 0$ или $x > 8$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{x - 8}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (8, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x < 0, x > 8}$

Этап 5

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \neq 0}$

Этап 6

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, 0) \cup (8, \infty), {x | x < 0, x > 8}$

Диапазон: $(- \infty, 0) \cup (0, \infty), {y | y \neq 0}$

Этап 7