Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{x + 4}{x \cdot x - 4} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x + 4 = 0$

$x \cdot x - 4 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 2.3

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.4

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 4$

Этап 2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 2.6

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 2.6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 2.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 2.7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 2.7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 2.8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 4$

$x = 2, - 2$

Этап 2.9

Объединим решения.

$x = - 4, 2, - 2$

Этап 2.10

Найдем область определения $\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x \cdot x - 4 = 0$

Этап 2.10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.10.2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 4$

Этап 2.10.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 2.10.2.4

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 2.10.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 2.10.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 2.10.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 2.10.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 2.10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 2.11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Этап 2.12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 2.12.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 6) + 4}{(- 6) (- 6) - 4} \geq 0$

Этап 2.12.1.3

Левая часть $- 0.0625$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.12.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 2.12.2.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 3) + 4}{(- 3) (- 3) - 4} \geq 0$

Этап 2.12.2.3

Левая часть $0.2$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.12.3

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.12.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) + 4}{(0) (0) - 4} \geq 0$

Этап 2.12.3.3

Левая часть $- 1$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.12.4

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.4.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 2.12.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(4) + 4}{(4) (4) - 4} \geq 0$

Этап 2.12.4.3

Левая часть $0.\overline{6}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.12.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

Этап 2.13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 4 \leq x < - 2$ или $x > 2$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x \cdot x - 4 = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Этап 4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 4$

Этап 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 4.4

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 4.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 4, - 2) \cup (2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | - 4 \leq x < - 2, x > 2}$

Этап 6

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \geq 0}$

Этап 7

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $[- 4, - 2) \cup (2, \infty), {x | - 4 \leq x < - 2, x > 2}$

Диапазон: $[0, \infty), {y | y \geq 0}$

Этап 8