Математический анализ Примеры

$(- 5 + 27 i) - (- 12 i + 8) + {(- 2 i)}^{3}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 + 27 i - (- 12 i) - 1 \cdot 8 + {(- 2 i)}^{3}$

Этап 1.2

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 1 \cdot 8 + {(- 2 i)}^{3}$

Этап 1.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 + {(- 2 i)}^{3}$

Этап 1.4

Применим правило умножения к $- 2 i$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 + {(- 2)}^{3} i^{3}$

Этап 1.5

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 - 8 i^{3}$

Этап 1.6

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 - 8 (i^{2} \cdot i)$

Этап 1.7

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 - 8 (- 1 \cdot i)$

Этап 1.8

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 - 8 (- i)$

Этап 1.9

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 + 8 i$

Этап 2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $8$ из $- 5$ .

$- 13 + 27 i + 12 i + 8 i$

Этап 2.2

Добавим $27 i$ и $12 i$ .

$- 13 + 39 i + 8 i$

Этап 2.3

Добавим $39 i$ и $8 i$ .

$- 13 + 47 i$

Этап 3

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 4

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 5

Подставим фактические значения $a = - 13$ и $b = 47$ .

$| z | = \sqrt{47^{2} + {(- 13)}^{2}}$

Этап 6

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведем $47$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{2209 + {(- 13)}^{2}}$

Этап 6.2

Возведем $- 13$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{2209 + 169}$

Этап 6.3

Добавим $2209$ и $169$ .

$| z | = \sqrt{2378}$

Этап 7

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{47}{- 13})$

Этап 8

Поскольку обратный тангенс $\frac{47}{- 13}$ дает угол во втором квадранте, значение угла равно $1.84064548$ .

$θ = 1.84064548$

Этап 9

Подставим значения $θ = 1.84064548$ и $| z | = \sqrt{2378}$ .

$\sqrt{2378} (\cos (1.84064548) + i \sin (1.84064548))$