Математический анализ Примеры

$32 e^{x} - e^{2 x}$

Этап 1

Запишем $32 e^{x} - e^{2 x}$ в виде функции.

$f (x) = 32 e^{x} - e^{2 x}$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $32 e^{x} - e^{2 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Этап 2.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [32 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Поскольку $32$ является константой относительно $x$ , производная $32 e^{x}$ по $x$ равна $32 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Этап 2.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$32 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{2 x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$32 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$32 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.1.1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$32 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.1.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$32 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.1.1.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$32 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Этап 2.1.1.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$32 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

Этап 2.1.1.3.6

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$32 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

Этап 2.1.1.3.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = 32 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $32 e^{x} - 2 e^{2 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

Этап 2.1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [32 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Поскольку $32$ является константой относительно $x$ , производная $32 e^{x}$ по $x$ равна $32 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

Этап 2.1.2.2.2

$32 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

Этап 2.1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 e^{2 x}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$32 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 2.1.2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$32 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.1.2.3.2.2

$32 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.1.2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.1.2.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.1.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Этап 2.1.2.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

Этап 2.1.2.3.6

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$32 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

Этап 2.1.2.3.7

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 32 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $32 e^{x} - 4 e^{2 x}$ .

$32 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $32 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$32 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$

Этап 2.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Перепишем $e^{2 x}$ в виде ${(e^{x})}^{2}$ .

$32 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{2} = 0$

Этап 2.2.2.2

Пусть $u = e^{x}$ . Подставим $u$ вместо $e^{x}$ для всех.

$32 u - 4 u^{2} = 0$

Этап 2.2.2.3

Вынесем множитель $4 u$ из $32 u - 4 u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Вынесем множитель $4 u$ из $32 u$ .

$4 u (8) - 4 u^{2} = 0$

Этап 2.2.2.3.2

Вынесем множитель $4 u$ из $- 4 u^{2}$ .

$4 u (8) + 4 u (- u) = 0$

Этап 2.2.2.3.3

Вынесем множитель $4 u$ из $4 u (8) + 4 u (- u)$ .

$4 u (8 - u) = 0$

Этап 2.2.2.4

Заменим все вхождения $u$ на $e^{x}$ .

$4 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$

Этап 2.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$8 - e^{x} = 0$

Этап 2.2.4

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 2.2.4.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 2.2.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.2.4.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 2.2.5

Приравняем $8 - e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Приравняем $8 - e^{x}$ к $0$ .

$8 - e^{x} = 0$

Этап 2.2.5.2

Решим $8 - e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- e^{x} = - 8$

Этап 2.2.5.2.2

Разделим каждый член $- e^{x} = - 8$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- e^{x} = - 8$ на $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.2.5.2.2.2.2

Разделим $e^{x}$ на $1$ .

$e^{x} = \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.2.3.1

Разделим $- 8$ на $- 1$ .

$e^{x} = 8$

Этап 2.2.5.2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

Этап 2.2.5.2.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.4.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (8)$

Этап 2.2.5.2.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (8)$

Этап 2.2.5.2.4.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (8)$

Этап 2.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$ верно.

$x = \ln (8)$

Этап 3

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, \ln (8)) \cup (\ln (8), \infty)$

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \infty, \ln (8))$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = 32 e^{0} - 4 e^{2 (0)}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f'' (0) = 32 \cdot 1 - 4 e^{2 (0)}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $32$ на $1$ .

$f'' (0) = 32 - 4 e^{2 (0)}$

Этап 5.2.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$f'' (0) = 32 - 4 e^{0}$

Этап 5.2.1.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f'' (0) = 32 - 4 \cdot 1$

Этап 5.2.1.5

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f'' (0) = 32 - 4$

Этап 5.2.2

Вычтем $4$ из $32$ .

$f'' (0) = 28$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $28$ .

$28$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(- \infty, \ln (8))$ , поскольку $f'' (0)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, \ln (8))$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(\ln (8), \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f'' (5) = 32 e^{5} - 4 e^{2 (5)}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $2$ на $5$ .

$f'' (5) = 32 e^{5} - 4 e^{10}$

Этап 6.2.2

Окончательный ответ: $32 e^{5} - 4 e^{10}$ .

$32 e^{5} - 4 e^{10}$

Этап 6.3

График вогнут вниз на интервале $(\ln (8), \infty)$ , поскольку $f'' (5)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(\ln (8), \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 7

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, \ln (8))$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(\ln (8), \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 8