Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ , $[0, 6]$

Этап 1

Чтобы найти среднее значение функции, она должна быть непрерывной на замкнутом интервале $[a, b]$ . Чтобы узнать, непрерывно ли выражение $f (x)$ в области $[0, 6]$ , найдем область определения $f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{4 x + 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$4 x + 1 \geq 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$4 x \geq - 1$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $4 x \geq - 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $4 x \geq - 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{- 1}{4}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x \geq - \frac{1}{4}$

Этап 1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

Интервальное представление:

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 6]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} \sqrt{4 x + 1} d x)$

Этап 5

Пусть $u = 4 x + 1$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 4 x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $4 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $4 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $4$ и $0$ .

$4$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 4 x + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $4$ на $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 5.3.2

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 4 x + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 6 + 1$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $4$ на $6$ .

$u_{upper} = 24 + 1$

Этап 5.5.2

Добавим $24$ и $1$ .

$u_{upper} = 25$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 25$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \sqrt{u} (\frac{1}{4}) d u)$

Этап 6

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \frac{\sqrt{u}}{4} d u)$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} \sqrt{u} d u)$

Этап 8

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25})$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $25$ и в $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Этап 10.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Этап 10.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Этап 10.2.3.2

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Этап 10.2.4

Возведем $5$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Этап 10.2.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $125$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Этап 10.2.6

Умножим $2$ на $125$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Этап 10.2.7

Единица в любой степени равна единице.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1))$

Этап 10.2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3}))$

Этап 10.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{250 - 2}{3})$

Этап 10.2.10

Вычтем $2$ из $250$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{248}{3})$

Этап 10.2.11

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{248}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{4 \cdot 3})$

Этап 10.2.12

Умножим $4$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{12})$

Этап 10.2.13

Сократим общий множитель $248$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.13.1

Вынесем множитель $4$ из $248$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 (62)}{12})$

Этап 10.2.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.13.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

Этап 10.2.13.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

Этап 10.2.13.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{62}{3})$

Этап 11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot \frac{62}{3}$

Этап 11.2

Добавим $6$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{62}{3}$

Этап 12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{62}{3}$

Этап 12.1.2

Вынесем множитель $2$ из $62$ .

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

Этап 12.1.3

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

Этап 12.1.4

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{31}{3}$

Этап 12.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{31}{3}$ .

$A (x) = \frac{31}{3 \cdot 3}$

Этап 12.3

Умножим $3$ на $3$ .

$A (x) = \frac{31}{9}$

Этап 13