Математический анализ Примеры

$\int x \cos (3 x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \cos (3 x)$ .

$x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sin (3 x)$ .

$x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Этап 2.2

Объединим $x$ и $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x)$

Этап 4

Пусть $u = 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Этап 5

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u$

Этап 7.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u$

Этап 8

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$

Этап 9

Перепишем $\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$ в виде $\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} x \sin (3 x) + \frac{1}{9} \cos (3 x) + C$