Математический анализ Примеры

${(x^{3} - 8)}^{4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = x^{3} - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Этап 1.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} - 8$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

Этап 1.1.2.3

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2} + 0)$

Этап 1.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2})$

Этап 1.1.2.4.2

Умножим $3$ на $4$ .

$12 {(x^{3} - 8)}^{3} x^{2}$

Этап 1.1.2.4.3

Изменим порядок множителей в $12 {(x^{3} - 8)}^{3} x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3}$ .

$12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3} = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x^{3} - 8)}^{3} = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.3.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем ${(x^{3} - 8)}^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем ${(x^{3} - 8)}^{3}$ к $0$ .

${(x^{3} - 8)}^{3} = 0$

Этап 2.4.2

Решим ${(x^{3} - 8)}^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

${(x^{3} - 2^{3})}^{3} = 0$

Этап 2.4.2.1.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

${((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}))}^{3} = 0$

Этап 2.4.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.3.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

${((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}))}^{3} = 0$

Этап 2.4.2.1.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

${((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4))}^{3} = 0$

Этап 2.4.2.1.4

Применим правило умножения к $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

${(x - 2)}^{3} {(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$

Этап 2.4.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x - 2)}^{3} = 0$

${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$

Этап 2.4.2.3

Приравняем ${(x - 2)}^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Приравняем ${(x - 2)}^{3}$ к $0$ .

${(x - 2)}^{3} = 0$

Этап 2.4.2.3.2

Решим ${(x - 2)}^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.4.2.3.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.4.2.4

Приравняем ${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1

Приравняем ${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3}$ к $0$ .

${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$

Этап 2.4.2.4.2

Решим ${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x^{2} + 2 x + 4 = \sqrt[3]{0}$

Этап 2.4.2.4.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 2.4.2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Этап 2.4.2.4.2.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.2.4.2.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.2.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.5.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.5.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.5.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.4.2.4.2.5.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 2.4.2.4.2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.2.6.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.6.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.6.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.6.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.2.6.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.6.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.6.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.4.2.4.2.6.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 2.4.2.4.2.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Этап 2.4.2.4.2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.2.7.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.7.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.7.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.7.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.7.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.7.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.2.7.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.7.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.7.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.7.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.4.2.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.4.2.4.2.7.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 2.4.2.4.2.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Этап 2.4.2.4.2.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Этап 2.4.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x - 2)}^{3} {(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$ верно.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3} = 0$ верно.

$x = 0, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим ${(x^{3} - 8)}^{4}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${({(0)}^{3} - 8)}^{4}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

${(0 - 8)}^{4}$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $8$ из $0$ .

${(- 8)}^{4}$

Этап 4.1.2.3

Возведем $- 8$ в степень $4$ .

$4096$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

${({(2)}^{3} - 8)}^{4}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

${(8 - 8)}^{4}$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $8$ из $8$ .

$0^{4}$

Этап 4.2.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(0, 4096), (2, 0)$

Этап 5