Математический анализ Примеры

$3^{x} \sin (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 3^{x}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$3^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Этап 1.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$3^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $3$ .

$3^{x} \cos (x) + \sin (x) (3^{x} \ln (3))$

Этап 1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$ .

$3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $3^{x}$ из $3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $3^{x}$ из $3^{x} \sin (x) \ln (3)$ .

$3^{x} \cos (x) + 3^{x} (\sin (x) \ln (3)) = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $3^{x}$ из $3^{x} \cos (x) + 3^{x} (\sin (x) \ln (3))$ .

$3^{x} (\cos (x) + \sin (x) \ln (3)) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3^{x} = 0$

$\cos (x) + \sin (x) \ln (3) = 0$

Этап 2.4

Приравняем $3^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $3^{x}$ к $0$ .

$3^{x} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $3^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3^{x}) = \ln (0)$

Этап 2.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.4.2.3

Нет решения для $3^{x} = 0$

Нет решения

Этап 2.5

Приравняем $\cos (x) + \sin (x) \ln (3)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $\cos (x) + \sin (x) \ln (3)$ к $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) \ln (3) = 0$

Этап 2.5.2

Решим $\cos (x) + \sin (x) \ln (3) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \ln (3)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.2

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \ln (3)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{\sin (x) \ln (3)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.3

Разделим дроби.

$1 + \frac{\ln (3)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$1 + \frac{\ln (3)}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.5

Разделим $\ln (3)$ на $1$ .

$1 + \ln (3) \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.6

Разделим дроби.

$1 + \ln (3) \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.7

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$1 + \ln (3) \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 2.5.2.8

Разделим $0$ на $1$ .

$1 + \ln (3) \tan (x) = 0 \sec (x)$

Этап 2.5.2.9

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$1 + \ln (3) \tan (x) = 0$

Этап 2.5.2.10

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\ln (3) \tan (x) = - 1$

Этап 2.5.2.11

Разделим каждый член $\ln (3) \tan (x) = - 1$ на $\ln (3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.11.1

Разделим каждый член $\ln (3) \tan (x) = - 1$ на $\ln (3)$ .

$\frac{\ln (3) \tan (x)}{\ln (3)} = \frac{- 1}{\ln (3)}$

Этап 2.5.2.11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.11.2.1

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.11.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (3) \tan (x)}{\ln (3)} = \frac{- 1}{\ln (3)}$

Этап 2.5.2.11.2.1.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{\ln (3)}$

Этап 2.5.2.11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.11.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\tan (x) = - \frac{1}{\ln (3)}$

Этап 2.5.2.12

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- \frac{1}{\ln (3)})$

Этап 2.5.2.13

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.13.1

Найдем значение $\arctan (- \frac{1}{\ln (3)})$ .

$x = - 0.73844341$

Этап 2.5.2.14

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - 0.73844341 - (3.14159265)$

Этап 2.5.2.15

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.15.1

Добавим $2 π$ к $- 0.73844341 - (3.14159265)$ .

$x = - 0.73844341 - (3.14159265) + 2 π$

Этап 2.5.2.15.2

Результирующий угол $2.40314923$ является положительным и отличается от $- 0.73844341 - (3.14159265)$ на полный оборот.

$x = 2.40314923$

Этап 2.5.2.16

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.16.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.5.2.16.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.5.2.16.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.5.2.16.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.5.2.17

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.17.1

Добавим $π$ к $- 0.73844341$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.73844341 + π$

Этап 2.5.2.17.2

Заменим на десятичную аппроксимацию.

$3.14159265 - 0.73844341$

Этап 2.5.2.17.3

Вычтем $0.73844341$ из $3.14159265$ .

$2.40314923$

Этап 2.5.2.17.4

Перечислим новые углы.

$x = 2.40314923$

Этап 2.5.2.18

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2.40314923 + π n, 2.40314923 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $3^{x} (\cos (x) + \sin (x) \ln (3)) = 0$ верно.

$x = 2.40314923 + π n, 2.40314923 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $3^{x} \sin (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 2.40314923$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $2.40314923$ вместо $x$ .

$3^{2.40314923} \sin (2.40314923)$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведем $3$ в степень $2.40314923$ .

$14.01501538 \sin (2.40314923)$

Этап 4.1.2.2

Умножим $14.01501538$ на $\sin (2.40314923)$ .

$9.43403393$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 5.54474188$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $5.54474188$ вместо $x$ .

$3^{5.54474188} \sin (5.54474188)$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $3$ в степень $5.54474188$ .

$442.09357916 \sin (5.54474188)$

Этап 4.2.2.2

Умножим $442.09357916$ на $\sin (5.54474188)$ .

$- 297.58981445$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 2.40314923 + 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $2.40314923 + 2 π$ вместо $x$ .

$3^{2.40314923 + 2 π} \sin (2.40314923 + 2 π)$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Добавим $2.40314923$ и $2 π$ .

$3^{8.68633454} \sin (2.40314923 + 2 π)$

Этап 4.3.2.2

Возведем $3$ в степень $8.68633454$ .

$13945.52395695 \sin (2.40314923 + 2 π)$

Этап 4.3.2.3

Добавим $2.40314923$ и $2 π$ .

$13945.52395695 \sin (8.68633454)$

Этап 4.3.2.4

Умножим $13945.52395695$ на $\sin (8.68633454)$ .

$9387.25664074$

Этап 4.4

Найдем значение в $x = 2.40314923 + 3 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим $2.40314923 + 3 π$ вместо $x$ .

$3^{2.40314923 + 3 π} \sin (2.40314923 + 3 π)$

Этап 4.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Добавим $2.40314923$ и $3 π$ .

$3^{11.82792719} \sin (2.40314923 + 3 π)$

Этап 4.4.2.2

Возведем $3$ в степень $11.82792719$ .

$439901.52220938 \sin (2.40314923 + 3 π)$

Этап 4.4.2.3

Добавим $2.40314923$ и $3 π$ .

$439901.52220938 \sin (11.82792719)$

Этап 4.4.2.4

Умножим $439901.52220938$ на $\sin (11.82792719)$ .

$- 296114.25848054$

Этап 4.5

Найдем значение в $x = 2.40314923 + 4 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Подставим $2.40314923 + 4 π$ вместо $x$ .

$3^{2.40314923 + 4 π} \sin (2.40314923 + 4 π)$

Этап 4.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Добавим $2.40314923$ и $4 π$ .

$3^{14.96951985} \sin (2.40314923 + 4 π)$

Этап 4.5.2.2

Возведем $3$ в степень $14.96951985$ .

$13876377.0970174 \sin (2.40314923 + 4 π)$

Этап 4.5.2.3

Добавим $2.40314923$ и $4 π$ .

$13876377.0970174 \sin (14.96951985)$

Этап 4.5.2.4

Умножим $13876377.0970174$ на $\sin (14.96951985)$ .

$9340711.28884108$

Этап 4.6

Перечислим все точки.

$(2.40314923, 9.43403393), (5.54474188, - 297.58981445), (2.40314923 + 2 π, 9387.25664074), (2.40314923 + 3 π, - 296114.25848054), (2.40314923 + 4 π, 9340711.28884108)$

Этап 5