Математический анализ Примеры

$t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.1.5

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t + 0$

Этап 1.1.6

Добавим $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ и $0$ .

$f' (t) = 4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$

Этап 1.2

Первая производная $f (t)$ по $t$ равна $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $t$ из $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $t$ из $4 t^{3}$ .

$t (4 t^{2}) + 3 t^{2} + 2 t = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $t$ из $3 t^{2}$ .

$t (4 t^{2}) + t (3 t) + 2 t = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $t$ из $2 t$ .

$t (4 t^{2}) + t (3 t) + t \cdot 2 = 0$

Этап 2.2.4

Вынесем множитель $t$ из $t (4 t^{2}) + t (3 t)$ .

$t (4 t^{2} + 3 t) + t \cdot 2 = 0$

Этап 2.2.5

Вынесем множитель $t$ из $t (4 t^{2} + 3 t) + t \cdot 2$ .

$t (4 t^{2} + 3 t + 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$t = 0$

$4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $t$ к $0$ .

$t = 0$

Этап 2.5

Приравняем $4 t^{2} + 3 t + 2$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $4 t^{2} + 3 t + 2$ к $0$ .

$4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.2.2

Подставим значения $a = 4$ , $b = 3$ и $c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $t$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 2)}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 16$ на $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.3.1.3

Вычтем $32$ из $9$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.3.1.4

Перепишем $- 23$ в виде $- 1 (23)$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (23)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Этап 2.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 16$ на $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.4.1.3

Вычтем $32$ из $9$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.4.1.4

Перепишем $- 23$ в виде $- 1 (23)$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (23)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Этап 2.5.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$t = \frac{- 3 + i \sqrt{23}}{8}$

Этап 2.5.2.4.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{23}}{8}$

Этап 2.5.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{23})}{8}$

Этап 2.5.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (- i \sqrt{23})$ .

$t = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{23})}{8}$

Этап 2.5.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}$

Этап 2.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 16$ на $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.5.1.3

Вычтем $32$ из $9$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.5.1.4

Перепишем $- 23$ в виде $- 1 (23)$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (23)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Этап 2.5.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$t = \frac{- 3 - i \sqrt{23}}{8}$

Этап 2.5.2.5.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{23}}{8}$

Этап 2.5.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{23})}{8}$

Этап 2.5.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (i \sqrt{23})$ .

$t = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{23})}{8}$

Этап 2.5.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t = - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

Этап 2.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$t = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $t (4 t^{2} + 3 t + 2) = 0$ верно.

$t = 0, - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$ для каждого значения $t$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $t = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $t$ .

${(0)}^{4} + {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 1$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 1$

Этап 4.1.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 + {(0)}^{2} + 1$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 + 0 + 1$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0 + 1$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 1$

Этап 4.1.2.2.3

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(0, 1)$

Этап 5